10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。 (1) 2本を同時に引くとき、2本とも当たる確率を求める。 (2) 3本を同時に引くとき、3本とも外れる確率を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。

(1) 2本を同時に引くとき、2本とも当たる確率を求める。

(2) 3本を同時に引くとき、3本とも外れる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2本とも当たる確率

まず、10本から2本引く場合の総数を計算します。これは組み合わせで計算され、$_{10}C_2$ と表されます。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

次に、3本の当たりくじから2本引く場合の数を計算します。これは組み合わせで計算され、$_3C_2$ と表されます。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

したがって、2本とも当たる確率は、当たりくじを2本引く場合の数を、2本引く場合の総数で割ることで求められます。

$P(\text{2本とも当たり}) = \frac{\text{当たりくじを2本引く場合の数}}{\text{2本引く場合の総数}} = \frac{_3C_2}{_{10}C_2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

(2) 3本とも外れる確率

まず、10本から3本引く場合の総数を計算します。これは組み合わせで計算され、$_{10}C_3$ と表されます。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

次に、7本の外れくじから3本引く場合の数を計算します。これは組み合わせで計算され、$_7C_3$ と表されます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、3本とも外れる確率は、外れくじを3本引く場合の数を、3本引く場合の総数で割ることで求められます。

$P(\text{3本とも外れ}) = \frac{\text{外れくじを3本引く場合の数}}{\text{3本引く場合の総数}} = \frac{_7C_3}{_{10}C_3} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 2本とも当たる確率は $\frac{1}{15}$ です。

(2) 3本とも外れる確率は $\frac{7}{24}$ です。