子ども10人、大人5人の中から5人を選ぶ場合の数に関する問題です。 (1) すべての選び方 (2) 子ども3人、大人2人を選ぶ選び方 (3) 特定の2人AとBが含まれる選び方 (4) 大人が少なくとも1人含まれる選び方

1. 問題の内容

子ども10人、大人5人の中から5人を選ぶ場合の数に関する問題です。

(1) すべての選び方

(2) 子ども3人、大人2人を選ぶ選び方

(3) 特定の2人AとBが含まれる選び方

(4) 大人が少なくとも1人含まれる選び方

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

15人から5人を選ぶ組み合わせなので、$_{15}C_5$を計算します。

$_{15}C_5 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$

(2) 子ども3人、大人2人を選ぶ選び方

子ども10人から3人を選ぶ組み合わせは、$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通り。

大人5人から2人を選ぶ組み合わせは、$_{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

よって、求める選び方は、$120 \times 10 = 1200$通り。

(3) 特定の2人AとBが含まれる選び方

すでに2人選ばれているので、残り13人から3人を選ぶ組み合わせを考えます。

$_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$通り。

(4) 大人が少なくとも1人含まれる選び方

全体の選び方から、大人を一人も含まない場合を引けばよい。

全体の選び方は$_{15}C_5 = 3003$通り。(1)より)

大人を一人も含まない選び方は、子ども10人から5人を選ぶ場合なので、$_{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$通り。

よって、大人が少なくとも1人含まれる選び方は、$3003 - 252 = 2751$通り。

3. 最終的な答え

(1) 3003通り

(2) 1200通り

(3) 286通り

(4) 2751通り