(1) 大中小3個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が8になる場合は何通りあるか。 (2) 1から4までの番号がついた箱とボールがある。すべての箱にそれぞれボールを1個ずつ入れるとき、箱の番号とボールの番号がすべて異なるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 大中小3個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が8になる場合は何通りあるか。

(2) 1から4までの番号がついた箱とボールがある。すべての箱にそれぞれボールを1個ずつ入れるとき、箱の番号とボールの番号がすべて異なるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x, y, z$ は1から6までの整数であり、

$x + y + z = 8$

となる組み合わせを考える。ただし、サイコロの大小の区別があるので、順序も区別する。

$x, y, z$ の組み合わせを列挙する。

(1, 1, 6), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (1, 5, 2), (1, 6, 1)

(2, 1, 5), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 4, 2), (2, 5, 1)

(3, 1, 4), (3, 2, 3), (3, 3, 2), (3, 4, 1)

(4, 1, 3), (4, 2, 2), (4, 3, 1)

(5, 1, 2), (5, 2, 1)

(6, 1, 1)

それぞれの組み合わせに対して、サイコロの区別（大中小）を考慮すると、並び替えのパターン数が変わる。

例えば、(1, 1, 6) は3通り (1,1,6), (1,6,1), (6,1,1)。

(1, 2, 5) は6通り (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1)。

(2, 3, 3) は3通り。

(2, 2, 4) は3通り。

上記の組み合わせの中で、1から6までの数字の組み合わせのみを考慮すると：

(1, 1, 6) -> 3通り

(1, 2, 5) -> 6通り

(1, 3, 4) -> 6通り

(2, 2, 4) -> 3通り

(2, 3, 3) -> 3通り

したがって、全部で $3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$ 通り。

(2)

箱とボールの番号がすべて異なるような入れ方を考える。

これは完全順列の問題。

4つの箱とボールの場合、完全順列の数は、

$!4 = 4! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!) = 24(1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24) = 12 - 4 + 1 = 9$

箱を固定して考える。

1の箱に入れるボールは、2,3,4のどれか。

2の箱に入れるボールは、1,3,4のどれか。

3の箱に入れるボールは、1,2,4のどれか。

4の箱に入れるボールは、1,2,3のどれか。

1 -> 2

2 -> 1,3,4

3 -> 1,4

4 -> 1,3

1 -> 2

2 -> 1

3 -> 4

4 -> 3

1 -> 2

2 -> 3

3 -> 4

4 -> 1

1 -> 2

2 -> 4

3 -> 1

4 -> 3

1 -> 3

2 -> 1

3 -> 4

4 -> 2

1 -> 3

2 -> 4

3 -> 1

4 -> 2

1 -> 3

2 -> 4

3 -> 2

4 -> 1

1 -> 4

2 -> 1

3 -> 2

4 -> 3

1 -> 4

2 -> 3

3 -> 1

4 -> 2

1 -> 4

2 -> 3

3 -> 2

4 -> 1

全部で9通り。

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 9通り