大人3人、子供5人の中から4人を選ぶ。 (1) 大人2人と子供2人を選ぶ選び方は何通りあるか。 (2) 大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

大人3人、子供5人の中から4人を選ぶ。

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

(2) 大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ選び方

大人3人から2人を選ぶ組み合わせは $_3C_2$通り。

子供5人から2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$通り。

よって、大人2人と子供2人を選ぶ選び方は、それぞれの組み合わせの積となる。

$$_3C_2 \times _5C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} \times \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 3 \times 10 = 30$$

(2) 大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ選び方

全体の場合の数から大人を含まない場合（つまり子供だけを選ぶ場合）を引けば良い。

全体の場合の数は、8人から4人を選ぶ組み合わせなので $_8C_4$通り。

子供5人から4人を選ぶ組み合わせは $_5C_4$通り。

よって、大人が少なくとも1人含まれるように選ぶ選び方は、 $_8C_4 - _5C_4$となる。

$$_8C_4 - _5C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} - \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4!} - \frac{5 \times 4!}{4! \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} - 5 = 70 - 5 = 65$$

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り