10人の人がA, B, Cの3つの部屋に入る方法について、以下の2つの場合について、その場合の数を求める問題です。 (1) Aに5人、Bに3人、Cに2人が入る。 (2) Aに4人、Bに3人、Cに3人が入る。

1. 問題の内容

10人の人がA, B, Cの3つの部屋に入る方法について、以下の2つの場合について、その場合の数を求める問題です。

(1) Aに5人、Bに3人、Cに2人が入る。

(2) Aに4人、Bに3人、Cに3人が入る。

2. 解き方の手順

(1)

まず、10人の中からAに入る5人を選ぶ組み合わせは$_{10}C_5$通りです。

次に、残った5人の中からBに入る3人を選ぶ組み合わせは$_{5}C_3$通りです。

最後に、残った2人はCに入ることになるので、組み合わせは$_{2}C_2 = 1$通りです。

したがって、求める場合の数は$_{10}C_5 \times _5C_3 \times _2C_2$となります。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、$_{10}C_5 \times _5C_3 \times _2C_2 = 252 \times 10 \times 1 = 2520$通りです。

(2)

まず、10人の中からAに入る4人を選ぶ組み合わせは$_{10}C_4$通りです。

次に、残った6人の中からBに入る3人を選ぶ組み合わせは$_{6}C_3$通りです。

最後に、残った3人はCに入ることになるので、組み合わせは$_{3}C_3 = 1$通りです。

したがって、求める場合の数は$_{10}C_4 \times _6C_3 \times _3C_3$となります。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

よって、$_{10}C_4 \times _6C_3 \times _3C_3 = 210 \times 20 \times 1 = 4200$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 4200通り