10人の人をA, B, Cの3つの部屋に入れる方法について、次の2つの場合を考える。 (1) Aに5人、Bに3人、Cに2人が入る場合の数を求める。 (2) Aに4人、Bに3人、Cに3人が入る場合の数を求める。

1. 問題の内容

10人の人をA, B, Cの3つの部屋に入れる方法について、次の2つの場合を考える。

(1) Aに5人、Bに3人、Cに2人が入る場合の数を求める。

(2) Aに4人、Bに3人、Cに3人が入る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、10人の中からAに入る5人を選ぶ。これは$_{10}C_5$通りある。

次に、残りの5人の中からBに入る3人を選ぶ。これは$_5C_3$通りある。

最後に、残りの2人は自動的にCに入るので、選び方は1通り。

よって、場合の数は、

$_{10}C_5 \times _5C_3 = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!}{3!2!} = \frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 3 = 2520$通り。

(2) まず、10人の中からAに入る4人を選ぶ。これは$_{10}C_4$通りある。

次に、残りの6人の中からBに入る3人を選ぶ。これは$_6C_3$通りある。

最後に、残りの3人は自動的にCに入るので、選び方は1通り。

よって、場合の数は、

$_{10}C_4 \times _6C_3 = \frac{10!}{4!6!} \times \frac{6!}{3!3!} = \frac{10!}{4!3!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 \times 5 \times 4 = 210 \times 20 = 2100 \times 2 = 4200$通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 4200通り