4人または5人でプレゼント交換会を行う場合について、指定された条件を満たす確率や場合の数を求める問題です。具体的には、 (1) 4人でプレゼント交換を行うとき、自分のプレゼントを受け取る人数が1人または2人の場合、交換会が終了しない受け取り方の総数、交換会が終了する確率を求めます。 (2) 5人でプレゼント交換を行うとき、交換会が終了する確率を求めます。 (3) 5人でプレゼント交換を行うとき、A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取った場合に、その回で交換会が終了する条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

4人または5人でプレゼント交換会を行う場合について、指定された条件を満たす確率や場合の数を求める問題です。具体的には、

(1) 4人でプレゼント交換を行うとき、自分のプレゼントを受け取る人数が1人または2人の場合、交換会が終了しない受け取り方の総数、交換会が終了する確率を求めます。

(2) 5人でプレゼント交換を行うとき、交換会が終了する確率を求めます。

(3) 5人でプレゼント交換を行うとき、A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取った場合に、その回で交換会が終了する条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

- 4人でのプレゼント交換の場合、全員が自分のプレゼントを受け取ると交換会が終了します。

- 1人が自分のプレゼントを受け取る場合：誰が自分のプレゼントを受け取るかという選び方が $_4C_1 = 4$ 通りあります。残りの3人は誰も自分のプレゼントを受け取らないようにする必要があります。これは完全順列の問題で、3人の場合の数は2通りです。したがって、$4 \times 2 = 8$ 通りとなります。

- 2人が自分のプレゼントを受け取る場合：誰が自分のプレゼントを受け取るかという選び方が $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 通りあります。残りの2人は互いに相手のプレゼントを受け取ることになるので、1通りです。したがって、6通りとなります。

- 交換会が終了しない受け取り方の総数：4人のプレゼントの受け取り方の総数は $4! = 24$通りです。全員が自分のプレゼントを受け取る場合は1通り。1人が自分のプレゼントを受け取る場合は8通り。2人が自分のプレゼントを受け取る場合は6通り。3人が自分のプレゼントを受け取る場合は0通り。4人が自分のプレゼントを受け取る場合は1通りなので、交換会が終了しない受け取り方の総数は、$24-1-8-6=9$通りです。したがって、交換会が終了しない場合は、全員が自分のものを受け取る場合を除いた数となります。4人の場合、完全順列は9通り。1人が自分のものを受け取る場合は8通り、2人が自分のものを受け取る場合は6通り。誰も自分のものを受け取らない場合は、9通り。ここで、交換会が終了しない受け取り方は、$4!-1 = 23$通りあります。1回目で終了しない受け取り方の総数を求めるので、これは完全順列の数である9通りです。しかし、問題文には「1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数」とあり、これは完全順列で求められるため、9ではなく、他の場合も考慮する必要があります。

- まず、4人のプレゼントの受け取り方は全部で $4! = 24$ 通りです。

- 自分のプレゼントを受け取る人数で場合分けします。

- 0人：完全順列なので、9通り

- 1人：$_4C_1 \times 2 = 8$ 通り

- 2人：$_4C_2 \times 1 = 6$ 通り

- 3人：0通り

- 4人：1通り

- 交換会が終了しないのは、誰も自分のプレゼントを受け取らない（0人の場合）場合です。したがって、9通りです。

- 交換会が終了する確率は、全員が自分のプレゼントを受け取る場合なので、$\frac{1}{24}$ です。しかし、問題は「1回目の交換で交換会が終了する確率」なので、全員が自分のプレゼントを受け取る以外のケースで終了する場合も考慮する必要があります。

- 上記より、サ=8, シ=6となります。

- 1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は、完全順列の数である9通りです。しかし問題文は、「1回目の交換で交換会が終了しない総数」とあります。全員が自分のプレゼントを受け取らない場合が交換会が終了しないので、スセ = 9となります。

- 交換会が終了する確率は、$\frac{\text{交換会が終了する受け取り方の総数}}{\text{受け取り方の総数}}$です。交換会が終了するのは、少なくとも1人が自分のものを受け取る場合なので、1- (誰も自分のものを受け取らない確率) = $1 - \frac{9}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$です。したがって、ソ=5, タ=8となります。

(2)

- 5人で交換会を行う場合、交換会が終了する確率は、少なくとも1人が自分のプレゼントを受け取る確率です。

- 5人のプレゼントの受け取り方は $5! = 120$ 通りです。

- 誰も自分のプレゼントを受け取らない場合は、完全順列で44通りです。

- したがって、交換会が終了する確率は $1 - \frac{44}{120} = \frac{76}{120} = \frac{19}{30}$となります。したがって、チツ=19, テト=30となります。

(3)

- A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取ったとき、Eも自分以外の人のプレゼントを受け取っていれば、交換会は終了しません。

- A, B, C, Dがそれぞれ自分以外の人のプレゼントを受け取った場合、残りのEのプレゼントも自分以外の人のものを受け取っている必要があります。

- まず、A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取る場合の数は、4人の完全順列の数、すなわち9通りです。

- このとき、Eが自分のプレゼントを受け取らない場合、交換会は終了しません。Eが自分のプレゼントを受け取った場合、交換会は終了します。

- A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取り、Eが自分のプレゼントを受け取る確率は小さいでしょう。条件付き確率を求めましょう。

- A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取ったという条件の下で、Eが自分のプレゼントを受け取る確率は、$1 - P(\text{Eが自分以外のプレゼントを受け取る})$です。

- 5人の完全順列は44通りです。

- A, B, C, Dが自分以外の人のプレゼントを受け取るパターンは9通りです。

- 条件付き確率は $\frac{44}{120}$です。

- A, B, C, Dがそれぞれ自分以外のプレゼントを受け取る場合、Eは必ず自分以外のプレゼントを受け取ります。

よって条件付き確率は 44/53 です。したがって、ナニ=44, ヌネ=53となります。

3. 最終的な答え

サ=8

シ=6

スセ=9

ソ=5

タ=8

チツ=19

テト=30

ナニ=44

ヌネ=53