袋の中に青球が6個、赤球が$n$個（$n \ge 2$）入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、青球が1個で赤球が2個である確率を$P_n$とする。 (1) $P_n$を$n$の式で表せ。 (2) $P_n > P_{n+1}$を満たす最小の$n$を求めよ。 (3) $P_n$を最大にする$n$の値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に青球が6個、赤球が$n$個（$n \ge 2$）入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、青球が1個で赤球が2個である確率を$P_n$とする。

(1) $P_n$を$n$の式で表せ。

(2) $P_n > P_{n+1}$を満たす最小の$n$を求めよ。

(3) $P_n$を最大にする$n$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

3個の球の取り出し方は全部で$_{6+n}C_3$通りある。

青球1個、赤球2個の取り出し方は、$_6C_1 \times _nC_2$通りある。

よって、$P_n$は次のように表せる。

$P_n = \frac{_6C_1 \times _nC_2}{_{6+n}C_3} = \frac{6 \times \frac{n(n-1)}{2}}{\frac{(n+6)(n+5)(n+4)}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{6 \times n(n-1) \times 3}{(n+6)(n+5)(n+4)} = \frac{18n(n-1)}{(n+6)(n+5)(n+4)}$

(2)

$P_n > P_{n+1}$を考える。

$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{18(n+1)n}{(n+7)(n+6)(n+5)} \times \frac{(n+6)(n+5)(n+4)}{18n(n-1)} = \frac{(n+1)(n+4)}{(n-1)(n+7)}$

$P_n > P_{n+1}$は$\frac{P_{n+1}}{P_n} < 1$と同値であるから、$\frac{(n+1)(n+4)}{(n-1)(n+7)} < 1$

$(n+1)(n+4) < (n-1)(n+7)$

$n^2 + 5n + 4 < n^2 + 6n - 7$

$11 < n$

したがって、$n>11$を満たす最小の$n$は$n=12$である。

(3)

$P_n$を最大にする$n$を求める。

(2)より、$n \le 11$のとき、$P_n < P_{n+1}$であり、$n \ge 12$のとき、$P_n > P_{n+1}$である。

$P_2 < P_3 < \cdots < P_{11} < P_{12}$

$P_{12} > P_{13} > P_{14} > \cdots$

したがって、$P_n$を最大にする$n$の値は$n=12$である。

3. 最終的な答え

(1) $P_n = \frac{18n(n-1)}{(n+6)(n+5)(n+4)}$

(2) $n=12$

(3) $n=12$