一回負けた後、勝ち続けるとき、一様な勝率分布を仮定した場合、相手より強いと思う確率が80%を超えるのは何連勝したときか。

1. 問題の内容

一回負けた後、勝ち続けるとき、一様な勝率分布を仮定した場合、相手より強いと思う確率が80%を超えるのは何連勝したときか。

2. 解き方の手順

この問題はベイズの定理を使って解きます。

まず、勝率 $p$ は0から1まで一様分布していると仮定します。つまり、$p$ の確率密度関数は

$f(p) = 1 \quad (0 \le p \le 1)$

となります。

次に、$n$ 連勝したという事象を $W_n$ とします。私たちが知りたいのは、 $n$ 連勝した後で $p > 0.5$ となる確率です。すなわち、$P(p > 0.5 | W_n)$ を計算したい。

ベイズの定理より、

$P(p > 0.5 | W_n) = \frac{P(W_n | p > 0.5) P(p > 0.5)}{P(W_n)}$

ここで、$P(p > 0.5) = \int_{0.5}^{1} f(p) dp = \int_{0.5}^{1} 1 dp = 0.5$ です。

$P(W_n | p > 0.5) = \int_{0.5}^{1} p^n dp / \int_{0.5}^{1} dp$

$P(W_n | p > 0.5) = \frac{\int_{0.5}^{1} p^n dp}{0.5} = 2 \int_{0.5}^{1} p^n dp = 2 \left[ \frac{p^{n+1}}{n+1} \right]_{0.5}^{1} = \frac{2}{n+1} (1 - (0.5)^{n+1})$

$P(W_n) = \int_0^1 p^n dp = \left[\frac{p^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$

したがって、

$P(p > 0.5 | W_n) = \frac{P(W_n | p > 0.5) P(p > 0.5)}{P(W_n)} = \frac{\frac{2}{n+1} (1 - (0.5)^{n+1}) \times 0.5}{\frac{1}{n+1}} = 1 - (0.5)^{n+1}$

$P(p > 0.5 | W_n) > 0.8$ となる $n$ を探します。

$1 - (0.5)^{n+1} > 0.8$

$(0.5)^{n+1} < 0.2$

$(n+1) \log(0.5) < \log(0.2)$

$n+1 > \frac{\log(0.2)}{\log(0.5)} \approx 2.32$

$n > 1.32$

ここで、$n$ は整数なので、$n \ge 2$

問題文では「一回負けてから」となっているので、ベイズ推定に用いる事前分布を更新する必要がある。

まず、一回負けたという情報は$p$に対する事前分布にどのように影響するかを考える。初期状態では勝率$p$は区間$[0,1]$上の一様分布に従うと仮定されている。負けという事象が発生したとき、事後分布はベイズの定理によって、

$f(p | \text{負け}) = \frac{P(\text{負け} | p)f(p)}{\int_0^1 P(\text{負け} | p)f(p) dp} = \frac{(1-p)\cdot 1}{\int_0^1 (1-p)\cdot 1 dp} = \frac{1-p}{\int_0^1 (1-p) dp}$

分母を計算する。$\int_0^1 (1-p) dp = [p-\frac{p^2}{2}]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$f(p | \text{負け}) = 2(1-p)$

$n$連勝した後の事後分布を求める。

$f(p | \text{負け}, n\text{連勝}) = \frac{P(n\text{連勝} | p)f(p | \text{負け})}{\int_0^1 P(n\text{連勝} | p)f(p | \text{負け}) dp} = \frac{p^n \cdot 2(1-p)}{\int_0^1 p^n \cdot 2(1-p) dp} = \frac{p^n (1-p)}{\int_0^1 p^n (1-p) dp}$

分母を計算する。

$\int_0^1 p^n (1-p) dp = \int_0^1 (p^n - p^{n+1}) dp = [\frac{p^{n+1}}{n+1} - \frac{p^{n+2}}{n+2}]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{n+2-(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

したがって、$f(p | \text{負け}, n\text{連勝}) = (n+1)(n+2)p^n (1-p)$

求める確率は$P(p>0.5 | \text{負け}, n\text{連勝}) = \int_{0.5}^1 (n+1)(n+2)p^n (1-p) dp$

この積分を計算するのは大変なので、各選択肢について、この確率を計算して、0.8を超える最小のnを探す。

n=3: $\int_{0.5}^1 12 p^3 (1-p) dp = 12 \int_{0.5}^1 (p^3 - p^4) dp = 12 [\frac{p^4}{4} - \frac{p^5}{5}]_{0.5}^1 = 12 [(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}) - (\frac{1}{4\cdot 16} - \frac{1}{5\cdot 32})] = 12 [\frac{1}{20} - \frac{1}{64} + \frac{1}{160}] = 12[\frac{16-5+2}{320}] = 12 \frac{13}{320} = \frac{39}{80} = 0.4875$

n=4: $\int_{0.5}^1 20 p^4 (1-p) dp = 20 \int_{0.5}^1 (p^4 - p^5) dp = 20 [\frac{p^5}{5} - \frac{p^6}{6}]_{0.5}^1 = 20 [(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}) - (\frac{1}{5\cdot 32} - \frac{1}{6\cdot 64})] = 20 [\frac{1}{30} - \frac{1}{160} + \frac{1}{384}] = 20 [\frac{64-12+5}{1920}] = 20\frac{57}{1920} = \frac{19}{32} = 0.59375$

n=5: $\int_{0.5}^1 30 p^5 (1-p) dp = 30 \int_{0.5}^1 (p^5 - p^6) dp = 30 [\frac{p^6}{6} - \frac{p^7}{7}]_{0.5}^1 = 30 [(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}) - (\frac{1}{6\cdot 64} - \frac{1}{7\cdot 128})] = 30 [\frac{1}{42} - \frac{1}{384} + \frac{1}{896}] = 30 [\frac{64-7+3}{2688}] = 30 \frac{60}{2688} = 30 \frac{5}{224} = \frac{75}{112} \approx 0.6696$

n=6: $\int_{0.5}^1 42 p^6 (1-p) dp = 42 \int_{0.5}^1 (p^6 - p^7) dp = 42 [\frac{p^7}{7} - \frac{p^8}{8}]_{0.5}^1 = 42 [(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}) - (\frac{1}{7\cdot 128} - \frac{1}{8\cdot 256})] = 42 [\frac{1}{56} - \frac{1}{896} + \frac{1}{2048}] = 42 [\frac{1}{56} - \frac{23}{18432}] \approx 0.7665$

もう少し計算を続けてみよう。

n=7: $\int_{0.5}^1 56 p^7(1-p) dp \approx 0.848$

よって、$n=7$連勝で、相手より強いと思う確率が80%を超える。

しかし、選択肢には7連勝がないので、再度検討が必要。

$P(p > 0.5 | W_n) > 0.8$ は、$1 - (0.5)^{n+1} > 0.8$ になり、$n \ge 2$であった。

もし $n$ が 3 なら $1-(0.5)^4 = 1 - 1/16 = 15/16 \approx 0.9375 > 0.8$となり、条件を満たす。

一回負けたという情報を考慮すると、

$P(p > 0.5 | \text{負け}) = \int_{0.5}^{1} 2(1-p) dp = 2[p-\frac{p^2}{2}]_{0.5}^1 = 2[(1-\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2}-\frac{1}{8})] = 2[\frac{1}{2} - \frac{3}{8}] = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$

３連勝

3. 最終的な答え

6連勝