この問題は、組み合わせ（Combination）の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの組み合わせの値を計算します。 (1) ${}_5C_4$ (2) ${}_9C_6$ (3) ${}_{20}C_{18}$

1. 問題の内容

この問題は、組み合わせ（Combination）の値を求める問題です。具体的には、以下の3つの組み合わせの値を計算します。

(1) ${}_5C_4$

(2) ${}_9C_6$

(3) ${}_{20}C_{18}$

2. 解き方の手順

組み合わせの公式は、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。

また、${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$ の性質を利用すると、計算が簡単になる場合があります。

(1) ${}_5C_4$ の場合：

${}_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1} = 5$

または、${}_5C_4 = {}_5C_{5-4} = {}_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4!}{1 \times 4!} = 5$

(2) ${}_9C_6$ の場合：

${}_9C_6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(6!)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

または、${}_9C_6 = {}_9C_{9-6} = {}_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1)(6!)} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84$

(3) ${}_{20}C_{18}$ の場合：

${}_{20}C_{18} = \frac{20!}{18!(20-18)!} = \frac{20!}{18!2!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{(18!)(2 \times 1)} = \frac{20 \times 19}{2} = 10 \times 19 = 190$

または、${}_{20}C_{18} = {}_{20}C_{20-18} = {}_{20}C_2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{(2 \times 1)(18!)} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$

3. 最終的な答え

(1) ${}_5C_4 = 5$

(2) ${}_9C_6 = 84$

(3) ${}_{20}C_{18} = 190$