患者の状態が○、△、×のいずれかであり、それぞれの翌週にどの状態になるかの確率と、それぞれの状態にかかる費用が与えられています。患者10人の費用は月平均いくらかを計算します。

1. 問題の内容

患者の状態が○、△、×のいずれかであり、それぞれの翌週にどの状態になるかの確率と、それぞれの状態にかかる費用が与えられています。患者10人の費用は月平均いくらかを計算します。

2. 解き方の手順

まず、各状態の患者が1人ずついるとして、翌週の費用を計算します。

- ○の患者の翌週の費用期待値: $0.3 \times 1 + 0.2 \times 2 + 0.5 \times 4 = 0.3 + 0.4 + 2 = 2.7$ 万円

- △の患者の翌週の費用期待値: $0.3 \times 1 + 0.4 \times 2 + 0.3 \times 4 = 0.3 + 0.8 + 1.2 = 2.3$ 万円

- ×の患者の翌週の費用期待値: $0.3 \times 1 + 0.6 \times 2 + 0.1 \times 4 = 0.3 + 1.2 + 0.4 = 1.9$ 万円

状態の遷移確率が与えられているものの、定常状態の分布が不明なので、1人ずつの費用をそのまま足し合わせて10倍するという単純な計算はできません。問題文に「患者10人の費用は月平均いくらか」とあるので、各状態が均等に分布しているものと仮定して、1人の患者の平均費用を計算し、それを10倍することを考えます。

しかし、上記の計算方法では、各状態からの遷移確率を考慮しており、状態が均等に分布しているという仮定は適切ではありません。

問題文の意図としては、それぞれの状態にある患者が10人いるというわけではなく、10人の患者全体の費用を考えるということでしょう。

与えられた情報は、各状態の患者が翌週にどの状態になるかの確率です。しかし、定常状態の分布が不明なので、この情報だけでは月平均の費用を正確に計算することはできません。

問題文に記載されている情報だけでは正答を導き出すことができません。

しかし、問題文に「月平均」とあるので、月全体の状態の分布が一定であると仮定して、無理やり計算してみます。

まず、1人の患者の状態の平均費用を計算します。それぞれの状態の患者が等しい割合で存在すると仮定すると（つまり、○、△、×の状態の患者がそれぞれ1/3ずついると仮定すると）、1人の患者の平均費用は次のようになります。

$(1 + 2 + 4) / 3 = 7 / 3 \approx 2.33$ 万円。

この場合、10人の患者の平均費用は $2.33 \times 10 = 23.3$ 万円 となります。しかし、状態の分布が均等であるという仮定は正しくない可能性が高いです。

別の解釈として、問題文の状態遷移の情報を無視し、単に１ヶ月の平均費用を聞いていると考えると、

○の翌週：$0.3*1 + 0.2*2 + 0.5*4 = 2.7$

△の翌週：$0.3*1 + 0.4*2 + 0.3*4 = 2.3$

×の翌週：$0.3*1 + 0.6*2 + 0.1*4 = 1.9$

この３状態の平均費用を(2.7 + 2.3 + 1.9)/3 = 6.9/3 = 2.3万円として、10人の平均費用は2.3 * 10 = 23万円と考えることができます。

3. 最終的な答え

23万円