Aの袋には黒玉5個と白玉3個、Bの袋には黒玉4個と白玉3個が入っている。Aから2個、Bから2個玉を取り出すとき、黒玉の個数が合わせて2個になる確率を求める。

1. 問題の内容

Aの袋には黒玉5個と白玉3個、Bの袋には黒玉4個と白玉3個が入っている。Aから2個、Bから2個玉を取り出すとき、黒玉の個数が合わせて2個になる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、AとBから玉を取り出す全ての場合の数を計算する。

Aから2個を取り出す場合の数は ${}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

Bから2個を取り出す場合の数は ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

したがって、AとBからそれぞれ2個ずつ取り出す全ての場合の数は $28 \times 21 = 588$ 通り。

次に、AとBから取り出した黒玉の個数が合わせて2個になる場合を考える。

(i) Aから黒玉0個、Bから黒玉2個の場合

Aから白玉2個を取り出す場合の数は ${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

Bから黒玉2個を取り出す場合の数は ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

この場合の数は $3 \times 6 = 18$ 通り。

(ii) Aから黒玉1個、Bから黒玉1個の場合

Aから黒玉1個、白玉1個を取り出す場合の数は ${}_5C_1 \times {}_3C_1 = 5 \times 3 = 15$ 通り。

Bから黒玉1個、白玉1個を取り出す場合の数は ${}_4C_1 \times {}_3C_1 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

この場合の数は $15 \times 12 = 180$ 通り。

(iii) Aから黒玉2個、Bから黒玉0個の場合

Aから黒玉2個を取り出す場合の数は ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

Bから白玉2個を取り出す場合の数は ${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

この場合の数は $10 \times 3 = 30$ 通り。

黒玉の個数が合わせて2個になる場合の合計は、$18 + 180 + 30 = 228$ 通り。

したがって、求める確率は $\frac{228}{588} = \frac{57}{147} = \frac{19}{49}$ となる。

3. 最終的な答え

19/49