確率変数 $X$ の期待値が $-2$ 、分散が $5$ であるとき、確率変数 $Y = 3X + 7$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

## 問題3

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値が $-2$ 、分散が $5$ であるとき、確率変数 $Y = 3X + 7$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

* 期待値の性質 $E[aX + b] = aE[X] + b$ を用いて $Y$ の期待値を求める。

* 分散の性質 $V[aX + b] = a^2V[X]$ を用いて $Y$ の分散を求める。

* 標準偏差は分散の正の平方根であるから、$Y$ の標準偏差を求める。

期待値の計算:

$E[Y] = E[3X + 7] = 3E[X] + 7 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$

分散の計算:

$V[Y] = V[3X + 7] = 3^2V[X] = 9 \cdot 5 = 45$

標準偏差の計算:

$\sigma[Y] = \sqrt{V[Y]} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

* 期待値: $1$

* 分散: $45$

* 標準偏差: $3\sqrt{5}$

## 問題4(1)

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

数列: $1^2 + 1\cdot2 + 2^2, 2^2 + 2\cdot3 + 3^2, 3^2 + 3\cdot4 + 4^2, \dots$

2. 解き方の手順

* 数列の一般項を求める。

* 一般項の和を計算する。

第 $k$ 項は $k^2 + k(k+1) + (k+1)^2 = k^2 + k^2 + k + k^2 + 2k + 1 = 3k^2 + 3k + 1$ で表される。

数列の第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^n (3k^2 + 3k + 1) = 3\sum_{k=1}^n k^2 + 3\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

$S_n = 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) + 2n}{2} = \frac{n[(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 2]}{2}$

$S_n = \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 2]}{2} = \frac{n[2n^2 + 6n + 6]}{2} = n(n^2 + 3n + 3)$

3. 最終的な答え

$S_n = n(n^2 + 3n + 3)$

## 問題4(2)

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める。

数列: $1^2, 1^2 + 3^2, 1^2 + 3^2 + 5^2, 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2, \dots$

2. 解き方の手順

* 数列の一般項を求める。

* 一般項の和を計算する。

第 $k$ 項は $\sum_{i=1}^k (2i - 1)^2 = \sum_{i=1}^k (4i^2 - 4i + 1)$ で表される。

$\sum_{i=1}^k (4i^2 - 4i + 1) = 4\sum_{i=1}^k i^2 - 4\sum_{i=1}^k i + \sum_{i=1}^k 1$

$= 4\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 4\frac{k(k+1)}{2} + k$

$= \frac{2k(k+1)(2k+1)}{3} - 2k(k+1) + k = \frac{2k(k+1)(2k+1) - 6k(k+1) + 3k}{3}$

$= \frac{k[2(k+1)(2k+1) - 6(k+1) + 3]}{3} = \frac{k[2(2k^2 + 3k + 1) - 6k - 6 + 3]}{3}$

$= \frac{k[4k^2 + 6k + 2 - 6k - 3]}{3} = \frac{k(4k^2 - 1)}{3} = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

数列の第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} = \sum_{k=1}^n \frac{k(4k^2-1)}{3} = \sum_{k=1}^n \frac{4k^3 - k}{3}$

$= \frac{1}{3} \left[ 4\sum_{k=1}^n k^3 - \sum_{k=1}^n k \right]$

$= \frac{1}{3} \left[ 4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{1}{3} \left[ 4\frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2} \right]$

$= \frac{1}{3} \left[ n^2(n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1] = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$