(1) 1から6までの目が等しい確率で出るサイコロを4回投げる試行について、以下の確率を求めます。 (ア) 出る目の最小値が1である確率 (イ) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率 (2) 3個のサイコロを同時に投げるとき、3個のサイコロの出る目の最小値が4になる確率を求めます。

1. 問題の内容

(1) 1から6までの目が等しい確率で出るサイコロを4回投げる試行について、以下の確率を求めます。

(ア) 出る目の最小値が1である確率

(イ) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率

(2) 3個のサイコロを同時に投げるとき、3個のサイコロの出る目の最小値が4になる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) (ア) 最小値が1である確率

4回のサイコロの目がすべて2以上である確率を求めて、それを1から引けば良いです。

4回のサイコロの目がすべて2以上になるのは、各回で2, 3, 4, 5, 6のいずれかが出ればいいので、確率は $\frac{5}{6}$。

したがって、4回すべて2以上である確率は $(\frac{5}{6})^4$。

求める確率は

$1 - (\frac{5}{6})^4$

(1) (イ) 最小値が1で、最大値が6である確率

まず、4回のうち少なくとも1回は1が出て、少なくとも1回は6が出る確率を考えます。

全体から、「1が出ない」場合と「6が出ない」場合と「1も6も出ない」場合を引きます。

全体は $6^4$ 通り。

1が出ない場合は $5^4$ 通り。

6が出ない場合は $5^4$ 通り。

1も6も出ない場合は $4^4$ 通り。

1か6の少なくともどちらかは出る場合は、

$6^4 - 5^4 - 5^4 + 4^4 = 1296 - 625 - 625 + 256 = 302$ 通り。

しかし、最小値が1で最大値が6ということは、すべての目が1以上6以下でなければなりません。したがって、この302通りの出方の中には、最小値が1でない場合や、最大値が6でない場合が含まれています。

1以上6以下のすべての出方は$6^4$通りあります。最小値が1でない場合は、すべての目が2以上6以下である$5^4$通りです。最大値が6でない場合は、すべての目が1以上5以下である$5^4$通りです。最小値が1で最大値が6でない場合は、すべての目が1以上5以下で最小値が1である$5^4 - 4^4$通りです。最大値が6で最小値が1でない場合は、すべての目が2以上6以下で最大値が6である$5^4 - 4^4$通りです。最小値が1で最大値が6である確率は

$\frac{302}{6^4} = \frac{151}{648}$

別の考え方として、1と6が必ず含まれていて、それ以外の数字は2, 3, 4, 5のいずれかであるという条件で考えると、難しいです。

4つの出目の中に、1が1回、6が1回含まれている場合：残りの2つは2,3,4,5のいずれか。この場合の数は$4\cdot 3 \cdot 4^2 = 192$通り。

4つの出目の中に、1が2回、6が1回含まれている場合：残りの1つは2,3,4,5のいずれか。$4!/2! = 12$通り。$12 \cdot 4=48$通り。

4つの出目の中に、1が1回、6が2回含まれている場合：残りの1つは2,3,4,5のいずれか。$4!/2! = 12$通り。$12 \cdot 4=48$通り。

4つの出目の中に、1が1回、6が3回含まれている場合：4通り。

4つの出目の中に、1が3回、6が1回含まれている場合：4通り。

合計$192+48+48+4+4=296$通り。

確率=$\frac{296}{6^4} = \frac{37}{162}$

(2) 3個のサイコロの最小値が4になる確率

3個のサイコロの目がすべて4以上である確率から、すべて5以上である確率を引けば良いです。

3個のサイコロの目がすべて4以上になるのは、各サイコロが4, 5, 6のいずれかを出せばいいので、確率は$(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。

3個のサイコロの目がすべて5以上になるのは、各サイコロが5, 6のいずれかを出せばいいので、確率は$(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$。

したがって、求める確率は $\frac{1}{8} - \frac{1}{27} = \frac{27 - 8}{216} = \frac{19}{216}$。

3. 最終的な答え

(1) (ア) $1 - (\frac{5}{6})^4 = \frac{671}{1296}$

(1) (イ) $\frac{37}{162}$

(2) $\frac{19}{216}$