## 問題1

## 問題1

異なる色の9個の玉を、指定された個数ずつ、指定された組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に分け方を考えます。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

## 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける場合

まず、9個から4個を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_4$ 通り。

次に、残りの5個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_5 C_3$ 通り。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_2 C_2 = 1$ 通り。

したがって、分け方は

${}_9 C_4 \times {}_5 C_3 \times {}_2 C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times 1 = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$ 通り。

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける場合

まず、9個からAに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$ 通り。

次に、残りの6個からBに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3$ 通り。

最後に、残りの3個からCに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${}_3 C_3 = 1$ 通り。

したがって、分け方は

${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$ 通り。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

上の(2)と同様に考えると $\frac{9!}{3!3!3!}$ 通りですが、組に区別がないので、3つの組の並び順を考慮する必要がありません。つまり、3!で割る必要があります。したがって、分け方は

$\frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{1}{6} \times 1680 = 280$ 通り。

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合

まず、9個から3個を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_3$ 通り。

次に、残りの6個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_2$ 通り。

次に、残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_4 C_2$ 通り。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_2 C_2 = 1$ 通り。

2個の組が3つあるため、3!で割る必要があります。

したがって、分け方は

${}_9 C_3 \times {}_6 C_2 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 \times \frac{1}{3!} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1 \times \frac{1}{6} = \frac{9!}{3!(2!)^3 2!} = \frac{9!}{3! \times 8 \times 2} = \frac{9!}{96}= \frac{362880}{96} = \frac{15120}{4} = 1260$通り。

## 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 420通り

## 問題2

点Pから点Qまで、右のような道のある地域で、遠回りをしないで行く道順を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合を考えます。

(1) すべての道順

(2) Rを通る。

(3) Rを通らない。

(4) ×印の箇所を通らない。

## 解き方の手順

(1) すべての道順

点Pから点Qまで行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。したがって、合計9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせを考えれば良いので、

${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

(2) Rを通る

点Pから点Rまで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。その道順は ${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

点Rから点Qまで行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。その道順は ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$ 通り。

したがって、点Rを通る道順は $6 \times 10 = 60$ 通り。

(3) Rを通らない

すべての道順からRを通る道順を引けば良いので、$126 - 60 = 66$ 通り。

(4) ×印の箇所を通らない

まず、×印を通る道順を求めます。点Pから×印まで行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。その道順は ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$ 通り。

×印から点Qまで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。その道順は ${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

したがって、×印を通る道順は $10 \times 6 = 60$ 通り。

すべての道順から×印を通る道順を引けば良いので、$126 - 60 = 66$ 通り。

## 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 66通り

(4) 66通り