確率変数 $X$ の期待値が $-2$ 、分散が $5$ であるとき、確率変数 $Y = 3X + 7$ の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

## 問題3

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値が $-2$ 、分散が $5$ であるとき、確率変数 $Y = 3X + 7$ の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

確率変数 $Y = aX + b$ ( $a, b$ は定数) について、以下の公式が成り立つ。

* 期待値: $E(Y) = aE(X) + b$

* 分散: $V(Y) = a^2V(X)$

* 標準偏差: $\sigma(Y) = |a|\sigma(X)$ (ただし、$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ )

これらの公式を用いて、$Y$ の期待値、分散、標準偏差を求める。

* $E(X) = -2$

* $V(X) = 5$

* $Y = 3X + 7$

$E(Y) = 3E(X) + 7 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$

$V(Y) = 3^2V(X) = 9 \times 5 = 45$

$\sigma(Y) = |3|\sigma(X) = 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

* 期待値: $1$

* 分散: $45$

* 標準偏差: $3\sqrt{5}$

## 問題4 (1)

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

$1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2, 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2, 3^2 + 3 \cdot 4 + 4^2, \dots$

2. 解き方の手順

数列の一般項を求める。第 $k$ 項は $k^2 + k(k+1) + (k+1)^2$ と表せる。

これを整理すると、

$k^2 + k(k+1) + (k+1)^2 = k^2 + k^2 + k + k^2 + 2k + 1 = 3k^2 + 3k + 1$ となる。

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1)$ で表される。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

より、

$S_n = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) + 2n}{2}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 2]}{2}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 2]}{2}$

$= \frac{n(2n^2 + 6n + 6)}{2}$

$= n(n^2 + 3n + 3)$

3. 最終的な答え

$n(n^2 + 3n + 3)$

## 問題4 (2)

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

$1^2, 1^2+3^2, 1^2+3^2+5^2, 1^2+3^2+5^2+7^2, \dots$

2. 解き方の手順

数列の一般項を求める。第 $k$ 項は $\sum_{i=1}^{k} (2i-1)^2$ と表せる。

$(2i-1)^2 = 4i^2 - 4i + 1$

$\sum_{i=1}^{k} (4i^2 - 4i + 1) = 4\sum_{i=1}^{k} i^2 - 4\sum_{i=1}^{k} i + \sum_{i=1}^{k} 1$

$= 4\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 4\frac{k(k+1)}{2} + k$

$= \frac{2k(k+1)(2k+1)}{3} - 2k(k+1) + k$

$= \frac{2k(k+1)(2k+1) - 6k(k+1) + 3k}{3}$

$= \frac{k[2(k+1)(2k+1) - 6(k+1) + 3]}{3}$

$= \frac{k[2(2k^2+3k+1) - 6k - 6 + 3]}{3}$

$= \frac{k(4k^2 + 6k + 2 - 6k - 3)}{3}$

$= \frac{k(4k^2 - 1)}{3}$

$= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(4k^2 - 1)}{3} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n} (4k^3 - k)$ で表される。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

より、

$S_n = \frac{1}{3} [4\frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2}]$

$= \frac{1}{3} [n^2(n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2}]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [2n(n+1) - 1]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [2n^2 + 2n - 1]$

$= \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$