(1) あるマシンがあり、ボタンを押すと確率 $\frac{2}{3}$ で0、確率 $\frac{1}{3}$ で1が出る。このボタンを5回押し、n回目に出た数字を $a_{n-1}$ とする。これらの数字を $a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$ と並べた数字を2進法で表された数とみなし、この数を10進法で表した数を得点とする。 (a) 得点が15点となる確率を求める。 (b) 得点が奇数となる確率を求める。 (c) 3回押した段階で得点が6点以上になることが確定したとき、あと2回ボタンを押すことで得点が15点以上となる条件付き確率を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ は第2項が17、第10項が-7の等差数列である。数列 $\{b_n\}$ は初項から第3項までの和が21、初項から第6項までの和が189となる等比数列である。ただし、公比は実数とする。 (a) 数列 $\{a_n\}$ の公差と数列 $\{b_n\}$ の公比を求める。 (b) $a_n < b_n$ が成り立つ最小の $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) あるマシンがあり、ボタンを押すと確率 $\frac{2}{3}$ で0、確率 $\frac{1}{3}$ で1が出る。このボタンを5回押し、n回目に出た数字を $a_{n-1}$ とする。これらの数字を $a_4 a_3 a_2 a_1 a_0$ と並べた数字を2進法で表された数とみなし、この数を10進法で表した数を得点とする。

(a) 得点が15点となる確率を求める。

(b) 得点が奇数となる確率を求める。

(c) 3回押した段階で得点が6点以上になることが確定したとき、あと2回ボタンを押すことで得点が15点以上となる条件付き確率を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ は第2項が17、第10項が-7の等差数列である。数列 $\{b_n\}$ は初項から第3項までの和が21、初項から第6項までの和が189となる等比数列である。ただし、公比は実数とする。

(a) 数列 $\{a_n\}$ の公差と数列 $\{b_n\}$ の公比を求める。

(b) $a_n < b_n$ が成り立つ最小の $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) (a) 15を2進数で表すと1111。つまり、$a_4 a_3 a_2 a_1 a_0 = 1111$となる確率を求めればよい。

確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$。

(1) (b) 得点が奇数になるのは、$a_0 = 1$ のとき。$a_1, a_2, a_3, a_4$ は0でも1でも良い。

$a_0 = 1$となる確率は $\frac{1}{3}$。

(1) (c) 3回押した段階で得点が6点以上になることが確定。つまり、$a_2 a_1 a_0$を2進数表示したものが、少なくとも6以上になっている。具体的には、110, 111のいずれか。つまり、6または7になっている。

15点以上になるには、あと2回の試行で得られる点数が、$15 - 6 = 9$ 点以上、もしくは、$15 - 7 = 8$ 点以上となる必要がある。

あと2回の試行で得られる点数は、$2^4 a_4 + 2^3 a_3 = 16 a_4 + 8 a_3$。

$a_4, a_3$ はそれぞれ0または1。

$16 a_4 + 8 a_3$ が9以上になるのは、$a_4 = 1$または$a_4 = 0, a_3=1, a_4=1$のとき。$a_4 = 1, a_3 = 0, 1$ のとき、または、$a_4 = 0, a_3 = 1, a_4=1$.

$a_4 = 1$ ならば無条件に9以上となる。$a_4 = 1$ となる確率は$\frac{1}{3}$。

$a_4 = 0$ かつ $a_3 = 1$ となる確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3+2}{9} = \frac{5}{9}$

ただし、最初の3回の試行で6点以上になる確率を考慮する必要がある。

6になるのは110なので、確率は$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$。

7になるのは111なので、確率は$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$。

6以上となる確率は$\frac{2}{27}+\frac{1}{27}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。

条件付き確率を求める。あと2回の試行で9点以上、8点以上となる確率は$\frac{1}{3}$ (10)または $\frac{2}{9}$ (01)。どちらでもないときは00。

$\frac{1}{3}(1) + \frac{2}{3}(0)=\frac{1}{3}$。

15以上となるのは11。つまり$1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + a_2 \cdot 2^2 + a_1 \cdot 2^1 + a_0 \cdot 2^0 \geq 15$.

つまり、$16+8+4a_2+2a_1+a_0 \geq 15$.

$24+4a_2+2a_1+a_0 \geq 15$.

$4a_2+2a_1+a_0 \geq -9$ となる。常に成り立つ。

従って確率は

1. 間違っている。

3回押した段階で6点以上になる確率。$a_2 a_1 a_0$が110, 111となる確率。

$p(110)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{27}$.

$p(111)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{27}$.

合計$\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$。

残り2回で15以上になるには？

$6=110$のとき、$a_4 a_3$は11, 10。$p = \frac{1}{9}$。

$7=111$のとき、$a_4 a_3$は11, 10, 01。$p = \frac{1}{9} \times \frac{5}{9}$.

(2) (a) $a_2 = 17, a_{10} = -7$ より、$a_{10} = a_2 + 8d$。

$-7 = 17 + 8d$。

$8d = -24$。

$d = -3$。

$S_3 = 21, S_6 = 189$。

$S_3 = a(1+r+r^2) = 21$。

$S_6 = a(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5) = a(1+r+r^2)(1+r^3) = 189$。

$21(1+r^3) = 189$。

$1+r^3 = 9$。

$r^3 = 8$。

$r=2$。

(2) (b) $a_n = a_1 + (n-1)d$。

$a_2 = a_1 + d = 17$。

$a_1 - 3 = 17$。

$a_1 = 20$。

$a_n = 20 + (n-1)(-3) = 20 - 3n + 3 = 23 - 3n$。

$b_n = a r^{n-1}$。

$S_3 = a(1+r+r^2) = 21$。

$a(1+2+4) = 7a = 21$。

$a = 3$。

$b_n = 3(2^{n-1})$。

$a_n < b_n$。

$23 - 3n < 3 \cdot 2^{n-1}$。

$n=1$: $23 - 3 = 20$, $3 \cdot 2^0 = 3$, $20 > 3$。

$n=2$: $23 - 6 = 17$, $3 \cdot 2^1 = 6$, $17 > 6$。

$n=3$: $23 - 9 = 14$, $3 \cdot 2^2 = 12$, $14 > 12$。

$n=4$: $23 - 12 = 11$, $3 \cdot 2^3 = 24$, $11 < 24$。

最小の $n$ は 4。

3. 最終的な答え

(1) (a) セ：1、ソタチ：81

(1) (b) ツ：1、テ：3

(1) (c) トナ：5、ニヌ：9

(2) (a) ネノ：-3、ハ：2

(2) (b) ヒ：4