確率変数 $X$ の期待値 $E[X] = -2$、分散 $V[X] = 5$ が与えられている。確率変数 $Y = 3X + 7$ について、$Y$ の期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$、標準偏差 $\sigma[Y]$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E[X] = -2$、分散 $V[X] = 5$ が与えられている。確率変数 $Y = 3X + 7$ について、$Y$ の期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$、標準偏差 $\sigma[Y]$ を求める。

2. 解き方の手順

期待値の線形性より、$E[aX + b] = aE[X] + b$ が成り立つ。

分散の性質より、$V[aX + b] = a^2V[X]$ が成り立つ。

標準偏差は分散の平方根である。$\sigma[X] = \sqrt{V[X]}$。

まず、$Y$ の期待値 $E[Y]$ を求める。

$Y = 3X + 7$ より、

$E[Y] = E[3X + 7] = 3E[X] + 7$

$E[X] = -2$ を代入すると、

$E[Y] = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$

次に、$Y$ の分散 $V[Y]$ を求める。

$Y = 3X + 7$ より、

$V[Y] = V[3X + 7] = 3^2V[X] = 9V[X]$

$V[X] = 5$ を代入すると、

$V[Y] = 9(5) = 45$

最後に、$Y$ の標準偏差 $\sigma[Y]$ を求める。

$\sigma[Y] = \sqrt{V[Y]} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$Y$ の期待値: $E[Y] = 1$

$Y$ の分散: $V[Y] = 45$

$Y$ の標準偏差: $\sigma[Y] = 3\sqrt{5}$