円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答える。 (1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x + m$ について、以下の問いに答える。

(1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式 $x^2 + y^2 = 5$ に直線の式 $y = 2x + m$ を代入して、$y$ を消去する。

$x^2 + (2x + m)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 5$

$5x^2 + 4mx + (m^2 - 5) = 0$

この $x$ に関する二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

判別式を $D$ とすると、

$D = (4m)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (m^2 - 5) = 16m^2 - 20m^2 + 100 = -4m^2 + 100$

$D/4 = (2m)^2 - 5(m^2-5) = 4m^2 - 5m^2 + 25 = -m^2 + 25$

$D \geq 0$ であるから、$-m^2 + 25 \geq 0$

$m^2 - 25 \leq 0$

$(m+5)(m-5) \leq 0$

したがって、$-5 \leq m \leq 5$

(2)

円と直線が接するのは、$D = 0$ のときである。

$-m^2 + 25 = 0$

$m^2 = 25$

$m = \pm 5$

3. 最終的な答え

(1) $-5 \leq m \leq 5$

(2) $m = 5, -5$