数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ によって定められているとき、$a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ によって定められているとき、$a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形するために、$a_{n+1} + (n+1) + c = 2(a_n + n + c)$ となるように定数 $c$ を求めます。

$a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ なので、

$2a_n + n - 1 + n + 1 + c = 2a_n + 2n + 2c$

$2n + c = 2n + 2c$

$c = 0$

したがって、$a_{n+1} + (n+1) = 2(a_n + n)$ となります。

ここで、$b_n = a_n + n$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $2$ の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ です。

したがって、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ となります。

$a_n = b_n - n$ であるので、$a_n = 2^n - n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - n$