数列$\{a_n\}$が$a_1=4$, $a_{n+1}=\frac{4a_n+3}{a_n+2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)で定められている。 (1) $b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$とおくとき、数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。 (2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が$a_1=4$, $a_{n+1}=\frac{4a_n+3}{a_n+2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)で定められている。

(1) $b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$とおくとき、数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ。

(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1}$を$b_n$で表すことを目指します。

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}-3}{a_{n+1}+1}$

$a_{n+1}=\frac{4a_n+3}{a_n+2}$を代入すると、

$b_{n+1} = \frac{\frac{4a_n+3}{a_n+2}-3}{\frac{4a_n+3}{a_n+2}+1}$

$b_{n+1} = \frac{4a_n+3-3(a_n+2)}{4a_n+3+(a_n+2)}$

$b_{n+1} = \frac{4a_n+3-3a_n-6}{4a_n+3+a_n+2}$

$b_{n+1} = \frac{a_n-3}{5a_n+5}$

$b_{n+1} = \frac{1}{5}\cdot\frac{a_n-3}{a_n+1}$

$b_{n+1} = \frac{1}{5}b_n$

したがって、数列$\{b_n\}$は公比$\frac{1}{5}$の等比数列である。

$b_1 = \frac{a_1-3}{a_1+1} = \frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5}$

よって、$b_n = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^n$

(2) $b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$より、

$b_n(a_n+1) = a_n-3$

$b_n a_n + b_n = a_n - 3$

$a_n - b_n a_n = b_n + 3$

$a_n(1-b_n) = b_n+3$

$a_n = \frac{b_n+3}{1-b_n}$

$b_n = \left(\frac{1}{5}\right)^n$を代入すると、

$a_n = \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^n+3}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^n} = \frac{\frac{1}{5^n}+3}{1-\frac{1}{5^n}} = \frac{1+3\cdot5^n}{5^n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = \left(\frac{1}{5}\right)^n$

(2) $a_n = \frac{1+3\cdot5^n}{5^n-1}$