2次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ の2つの解が与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める問題です。以下の3つの条件について解答します。 (1) 1つの解が他の解の2倍である。 (2) 2つの解の比が2:3である。 (3) 2つの解の差が4である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ の2つの解が与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める問題です。以下の3つの条件について解答します。

(1) 1つの解が他の解の2倍である。

(2) 2つの解の比が2:3である。

(3) 2つの解の差が4である。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

今の場合、$a=1$, $b=-6$, $c=m$ なので、

$\alpha + \beta = 6$

$\alpha \beta = m$

となります。

(1) 1つの解が他の解の2倍であるとき、$\beta = 2\alpha$ とします。

$\alpha + 2\alpha = 6$ より $3\alpha = 6$, よって $\alpha = 2$.

$\beta = 2\alpha = 2(2) = 4$.

$m = \alpha \beta = 2(4) = 8$.

解は $2, 4$, $m = 8$.

(2) 2つの解の比が2:3であるとき、$\alpha: \beta = 2:3$ より $\beta = \frac{3}{2}\alpha$ とします。

$\alpha + \frac{3}{2}\alpha = 6$ より $\frac{5}{2}\alpha = 6$, よって $\alpha = \frac{12}{5}$.

$\beta = \frac{3}{2}\alpha = \frac{3}{2} (\frac{12}{5}) = \frac{18}{5}$.

$m = \alpha \beta = (\frac{12}{5})(\frac{18}{5}) = \frac{216}{25}$.

解は $\frac{12}{5}, \frac{18}{5}$, $m = \frac{216}{25}$.

(3) 2つの解の差が4であるとき、$\beta - \alpha = 4$ とします。

$\alpha + \beta = 6$ と $\beta - \alpha = 4$ の連立方程式を解きます。

2つの式を足し合わせると $2\beta = 10$ より $\beta = 5$.

$\alpha = 6 - \beta = 6 - 5 = 1$.

$m = \alpha \beta = 1(5) = 5$.

解は $1, 5$, $m = 5$.

3. 最終的な答え

(1) $m = 8$, 解は $2, 4$

(2) $m = \frac{216}{25}$, 解は $\frac{12}{5}, \frac{18}{5}$

(3) $m = 5$, 解は $1, 5$