次の4つの関数について、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$) (2) $y = x^2 + 3x + 3$ ($0 < x \le 2$) (3) $y = 3(x+1)(x-2)$ ($0 \le x < 3$) (4) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 < x < 2$)

1. 問題の内容

次の4つの関数について、与えられた範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

(2) $y = x^2 + 3x + 3$ ($0 < x \le 2$)

(3) $y = 3(x+1)(x-2)$ ($0 \le x < 3$)

(4) $y = x^2 - 2x + 2$ ($-1 < x < 2$)

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。その後、定義域の端点における関数の値を計算し、頂点の$y$座標と比較することで、最大値と最小値を求めます。定義域にイコールが含まれていない場合は、その端点での値は最大値・最小値になりません。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ について

平方完成すると、$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -2(x+1)^2 + 2 + 1 = -2(x+1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$。

$x = -2$ のとき $y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$

$x = 1$ のとき $y = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$

定義域は $-2 \le x < 1$ なので、$x=1$は含まないため、最小値はありません。

最大値は$x = -1$のとき、$y = 3$

(2) $y = x^2 + 3x + 3$ について

平方完成すると、$y = x^2 + 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2 + 3 = (x + 3/2)^2 - 9/4 + 12/4 = (x + 3/2)^2 + 3/4$

頂点は $(-3/2, 3/4)$。

$x = 0$ のとき $y = 0^2 + 3(0) + 3 = 3$

$x = 2$ のとき $y = 2^2 + 3(2) + 3 = 4 + 6 + 3 = 13$

定義域は $0 < x \le 2$ なので、$x=0$は含まないため、最小値はありません。

最大値は$x = 2$のとき、$y = 13$

(3) $y = 3(x+1)(x-2) = 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$ について

平方完成すると、$y = 3(x^2 - x) - 6 = 3(x^2 - x + (1/2)^2 - (1/2)^2) - 6 = 3(x - 1/2)^2 - 3/4 - 24/4 = 3(x - 1/2)^2 - 27/4$

頂点は $(1/2, -27/4)$。

$x = 0$ のとき $y = 3(0+1)(0-2) = -6$

$x = 3$ のとき $y = 3(3+1)(3-2) = 3(4)(1) = 12$

定義域は $0 \le x < 3$ なので、$x=3$は含まないため、最大値はありません。

最小値は$x = 1/2$のとき、$y = -27/4$

(4) $y = x^2 - 2x + 2$ について

平方完成すると、$y = x^2 - 2x + 1 - 1 + 2 = (x-1)^2 + 1$

頂点は $(1, 1)$。

$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$x = 2$ のとき $y = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

定義域は $-1 < x < 2$ なので、$x=-1, x=2$は含まないため、最大値、最小値ともにありません。

しかし、頂点は定義域に含まれているので、$x=1$に近づくにつれて$y$は1に近づくが、値は1にならないため最小値も存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3 (x = -1), 最小値: なし

(2) 最大値: 13 (x = 2), 最小値: なし

(3) 最大値: なし, 最小値: -27/4 (x = 1/2)

(4) 最大値: なし, 最小値: なし