与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母の符号を変えた $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$

分子を展開すると

$(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$

分母を展開すると

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{-1} = -5 + 2\sqrt{6} = 2\sqrt{6} - 5$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6} - 5$