$n$ を $n \geq 2$ である自然数とするとき、次の和を求めます。 $1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$

1. 問題の内容

$n$ を $n \geq 2$ である自然数とするとき、次の和を求めます。

$1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$

2. 解き方の手順

この和を $\sum$ を使って表すと、次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2$

これを展開して計算します。

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2 &= \sum_{k=1}^{n-1} k(n^2 - 2nk + k^2) \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} (n^2k - 2nk^2 + k^3) \\ &= n^2 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2n \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^3 \end{align*}

ここで、次の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2 = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$

これらを代入すると、

\begin{align*} n^2 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2n \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^3 &= n^2 \frac{(n-1)n}{2} - 2n \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)^2 n^2}{4} \\ &= \frac{n^3(n-1)}{2} - \frac{n^2(n-1)(2n-1)}{3} + \frac{n^2(n-1)^2}{4} \\ &= \frac{6n^3(n-1) - 4n^2(n-1)(2n-1) + 3n^2(n-1)^2}{12} \\ &= \frac{n^2(n-1)(6n - 4(2n-1) + 3(n-1))}{12} \\ &= \frac{n^2(n-1)(6n - 8n + 4 + 3n - 3)}{12} \\ &= \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12} \\ &= \frac{n^2(n^2-1)}{12} \\ &= \frac{n^4 - n^2}{12} \end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{n^4 - n^2}{12} = \frac{n^2(n^2-1)}{12} = \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}$