数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項は $a_1 = 2$ で、漸化式は $a_{n+1} = 3a_n + 8$ で定義されています。 (1) 一般項 $a_n$ を $n$ で表す。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項は $a_1 = 2$ で、漸化式は $a_{n+1} = 3a_n + 8$ で定義されています。

(1) 一般項 $a_n$ を $n$ で表す。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $n$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 8$ を変形して、等比数列の形にする。

$a_{n+1} + \alpha = 3(a_n + \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 3a_n + 3\alpha - \alpha$ なので $3\alpha - \alpha = 8$ より $2\alpha = 8$ よって $\alpha = 4$

したがって、$a_{n+1} + 4 = 3(a_n + 4)$

$b_n = a_n + 4$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、$b_n$ は公比 $3$ の等比数列である。

初項は $b_1 = a_1 + 4 = 2 + 4 = 6$ である。

よって、$b_n = 6 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^n$

$a_n = b_n - 4 = 2 \cdot 3^n - 4$

(2) 和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2 \cdot 3^k - 4) = 2 \sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 4$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$ は初項 $3$, 公比 $3$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$

したがって、$S_n = 2 \cdot \frac{3(3^n - 1)}{2} - 4n = 3(3^n - 1) - 4n = 3^{n+1} - 3 - 4n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2 \cdot 3^n - 4$

(2) $S_n = 3^{n+1} - 4n - 3$