数列 $\{a_k\}$ の一般項が $a_k = 3k^2 - 2k - \frac{5}{2}$ で与えられているとき、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

## (1) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ の一般項が $a_k = 3k^2 - 2k - \frac{5}{2}$ で与えられているとき、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

2. 解き方の手順

和を計算するために、$\sum$ の性質を利用して、それぞれの項を分離し、既知の公式を適用する。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 2k - \frac{5}{2})$

$= 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k - \frac{5}{2} \sum_{k=1}^{n} 1$

ここで、以下の公式を利用する。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{5}{2} n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - n(n+1) - \frac{5}{2} n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) - 2(n+1) - 5]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 - 2n - 2 - 5]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + n - 6]$

$= \frac{n(2n^2 + n - 6)}{2}$

$= \frac{n(n+2)(2n-3)}{2}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n(n+2)(2n-3)}{2}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ の一般項が $a_k = \frac{2}{4k^2 - 1}$ で与えられているとき、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行う。

$a_k = \frac{2}{4k^2 - 1} = \frac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

$2 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$k = \frac{1}{2}$ のとき、$2 = 2A$ より $A = 1$

$k = -\frac{1}{2}$ のとき、$2 = -2B$ より $B = -1$

したがって、$a_k = \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$= (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$

これはtelescoping sumなので、

$S_n = 1 - \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1 - 1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{2n}{2n+1}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ の一般項が $a_k = k \cdot 2^{k+2}$ で与えられているとき、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

2. 解き方の手順

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k+2} = 4 \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k$

$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n$

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}$

$S - 2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

$-S = \sum_{k=1}^{n} 2^k - n \cdot 2^{n+1}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$

$-S = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1}$

$S = n \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1} + 2 = (n-1)2^{n+1} + 2$

$S_n = 4S = 4((n-1)2^{n+1} + 2) = (n-1)2^{n+3} + 8$

3. 最終的な答え

$S_n = (n-1)2^{n+3} + 8$

## (4) の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ の一般項が $a_k = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ で与えられているとき、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行う。

$a_k = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k+1 - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

これはtelescoping sumなので、

$S_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

$S_n = \sqrt{n+1} - 1$