(1) 点 $(1, -3)$ を通り、直線 $4x + 5y = 2$ に平行な直線を求める。 (2) 点 $(3, 7)$ を通り、2点 $(1, 5)$, $(4, 4)$ を通る直線に垂直な直線を求める。

1. 問題の内容

(1) 点 $(1, -3)$ を通り、直線 $4x + 5y = 2$ に平行な直線を求める。

(2) 点 $(3, 7)$ を通り、2点 $(1, 5)$, $(4, 4)$ を通る直線に垂直な直線を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線

与えられた直線 $4x + 5y = 2$ の傾きを求める。

$5y = -4x + 2$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5}$

傾きは $-\frac{4}{5}$ である。

平行な直線は傾きが等しいので、求める直線の傾きも $-\frac{4}{5}$ である。

点 $(1, -3)$ を通るので、直線の式は $y - (-3) = -\frac{4}{5}(x - 1)$ となる。

$y + 3 = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5}$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5} - 3$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5} - \frac{15}{5}$

$y = -\frac{4}{5}x - \frac{11}{5}$

両辺に5をかけて

$5y = -4x - 11$

$4x + 5y = -11$

(2) 垂直な直線

2点 $(1, 5)$, $(4, 4)$ を通る直線の傾きを求める。

傾きは $\frac{4 - 5}{4 - 1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$ である。

求める直線はこれに垂直なので、傾きは $3$ である。

点 $(3, 7)$ を通るので、直線の式は $y - 7 = 3(x - 3)$ となる。

$y - 7 = 3x - 9$

$y = 3x - 9 + 7$

$y = 3x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $4x + 5y = -11$

(2) $y = 3x - 2$