与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = 3x^2 - 4 \quad (-2 \le x \le 2)$ (2) $y = 2x^2 - 4x + 3 \quad (x \ge 2)$ (3) $y = x^2 - 4x + 2 \quad (-2 < x \le 4)$ (4) $y = -x^2 - 6x + 1 \quad (0 \le x < 2)$

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = 3x^2 - 4 \quad (-2 \le x \le 2)$

(2) $y = 2x^2 - 4x + 3 \quad (x \ge 2)$

(3) $y = x^2 - 4x + 2 \quad (-2 < x \le 4)$

(4) $y = -x^2 - 6x + 1 \quad (0 \le x < 2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 - 4 \quad (-2 \le x \le 2)$

まず、頂点を求めます。$y = 3x^2 - 4$ は $x^2$ の係数が正なので、下に凸のグラフです。頂点は $(0, -4)$ にあり、定義域 $-2 \le x \le 2$ に含まれます。

$x = 0$ のとき、$y = -4$ (最小値)

$x = -2$ または $x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$ (最大値)

(2) $y = 2x^2 - 4x + 3 \quad (x \ge 2)$

平方完成すると、

$y = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2(x - 1)^2 - 2 + 3 = 2(x - 1)^2 + 1$

頂点は $(1, 1)$ ですが、定義域 $x \ge 2$ に含まれません。

$x = 2$ のとき、$y = 2(2 - 1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3$ (最小値)

$x$ が大きくなるほど、$y$ の値も大きくなるので、最大値はありません。

(3) $y = x^2 - 4x + 2 \quad (-2 < x \le 4)$

平方完成すると、

$y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 2 = (x - 2)^2 - 2$

頂点は $(2, -2)$ にあり、定義域 $-2 < x \le 4$ に含まれます。

$x = 2$ のとき、$y = -2$ (最小値)

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = -2$ に近づくとき、$y = (-2 - 2)^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

しかし、$x = -2$ は定義域に含まれないため、最大値はありません。

(4) $y = -x^2 - 6x + 1 \quad (0 \le x < 2)$

平方完成すると、

$y = -(x^2 + 6x) + 1 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 1 = -(x + 3)^2 + 9 + 1 = -(x + 3)^2 + 10$

頂点は $(-3, 10)$ ですが、定義域 $0 \le x < 2$ に含まれません。$x^2$の係数が負なので上に凸のグラフです。

$x = 0$ のとき、$y = -9 + 10 = 1$ (最大値)

$x = 2$ に近づくとき、$y = -(2 + 3)^2 + 10 = -25 + 10 = -15$

しかし、$x = 2$ は定義域に含まれないため、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8 (x = -2, 2), 最小値: -4 (x = 0)

(2) 最小値: 3 (x = 2), 最大値: なし

(3) 最小値: -2 (x = 2), 最大値: なし

(4) 最大値: 1 (x = 0), 最小値: なし