2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ は以下の式で表されます。

$D = b^2 - 4ac$

この問題の場合、$a = 1$, $b = -2m$, $c = m + 2$ です。

したがって、$D$ は次のようになります。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m + 2)$

$D = 4m^2 - 4m - 8$

2つの虚数解を持つためには、$D < 0$ でなければなりません。

$4m^2 - 4m - 8 < 0$

両辺を4で割ると、

$m^2 - m - 2 < 0$

この不等式を解くために、まず $m^2 - m - 2 = 0$ の解を求めます。

$(m - 2)(m + 1) = 0$

よって、$m = 2$ または $m = -1$

$m^2 - m - 2 < 0$ を満たす $m$ の範囲は、2次関数のグラフが $x$ 軸より下にある範囲です。

したがって、$m$ の範囲は $-1 < m < 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < m < 2$