整式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 5$ を、次の1次式で割ったときの余りを求めよ。 (1) $x-2$ (2) $x+3$

代数学整式剰余の定理多項式
2025/6/24

1. 問題の内容

整式 P(x)=x3+3x24x+5P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 5 を、次の1次式で割ったときの余りを求めよ。
(1) x2x-2
(2) x+3x+3

2. 解き方の手順

剰余の定理を使うと、整式 P(x)P(x)xax-a で割ったときの余りは P(a)P(a) で求められます。
(1) x2x-2 で割ったときの余りを求めます。
P(2)P(2) を計算します。
P(2)=23+32242+5=8+348+5=8+128+5=17P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 8 + 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 8 + 12 - 8 + 5 = 17
(2) x+3x+3 で割ったときの余りを求めます。x+3=x(3)x+3=x-(-3) より、a=3a=-3 です。
P(3)P(-3) を計算します。
P(3)=(3)3+3(3)24(3)+5=27+39+12+5=27+27+12+5=17P(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 5 = -27 + 3 \cdot 9 + 12 + 5 = -27 + 27 + 12 + 5 = 17

3. 最終的な答え

(1) 17
(2) 17

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