複素数 $w$ と $z$ が $w = \frac{iz}{z-2}$ を満たしているとき、以下の問いに答えます。 (1) $z$ が原点を中心とする半径2の円周上を動くとき、$w$ はどのような図形を描くか。ただし、$z \ne 2$ とする。 (2) $z$ が虚軸上を動くとき、$w$ はどのような図形を描くか。 (3) $w$ が実軸上を動くとき、$z$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数 $w$ と $z$ が $w = \frac{iz}{z-2}$ を満たしているとき、以下の問いに答えます。

(1) $z$ が原点を中心とする半径2の円周上を動くとき、$w$ はどのような図形を描くか。ただし、$z \ne 2$ とする。

(2) $z$ が虚軸上を動くとき、$w$ はどのような図形を描くか。

(3) $w$ が実軸上を動くとき、$z$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

(1) $z$ が原点を中心とする半径2の円周上を動くので、$|z| = 2$ と表せます。

$w = \frac{iz}{z-2}$ より、$w(z-2) = iz$ なので、$wz - 2w = iz$ となり、$z(w-i) = 2w$ が得られます。

したがって、$z = \frac{2w}{w-i}$ となります。

$|z| = 2$ より、$|\frac{2w}{w-i}| = 2$ なので、$|2w| = 2|w-i|$ となり、$|w| = |w-i|$ が得られます。

これは、$w$ と $i$ の距離が、$w$ と原点の距離に等しいことを意味するので、$w$ は原点と $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線上にあります。

したがって、$w$ は直線 $\mathrm{Im}(w) = \frac{1}{2}$ 上の点です。

$z=2$ のとき、$w$ は定義されないので、$z \ne 2$ を考慮します。

$z = \frac{2w}{w-i} = 2$ のとき、$2w = 2(w-i)$ より、$2w = 2w - 2i$ となり、$0 = -2i$ となって矛盾します。

したがって、$z \ne 2$ という条件は、$w$ が直線 $\mathrm{Im}(w) = \frac{1}{2}$ 上のすべての点を取り得ることを意味します。

(2) $z$ が虚軸上を動くので、$z = ki$ ($k$ は実数) と表せます。

$w = \frac{iz}{z-2}$ に代入すると、$w = \frac{i(ki)}{ki-2} = \frac{-k}{ki-2} = \frac{-k(-ki-2)}{(ki-2)(-ki-2)} = \frac{k^2i+2k}{k^2+4} = \frac{2k}{k^2+4} + \frac{k^2}{k^2+4}i$ となります。

$w = x + yi$ とすると、$x = \frac{2k}{k^2+4}$、 $y = \frac{k^2}{k^2+4}$ です。

$x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{2k}{k^2+4})^2 + (\frac{k^2}{k^2+4} - \frac{1}{2})^2 = \frac{4k^2}{(k^2+4)^2} + (\frac{2k^2 - (k^2+4)}{2(k^2+4)})^2 = \frac{4k^2}{(k^2+4)^2} + \frac{(k^2-4)^2}{4(k^2+4)^2} = \frac{16k^2 + k^4 - 8k^2 + 16}{4(k^2+4)^2} = \frac{k^4 + 8k^2 + 16}{4(k^2+4)^2} = \frac{(k^2+4)^2}{4(k^2+4)^2} = \frac{1}{4}$

したがって、$w$ は中心 $(0, \frac{1}{2})$、半径 $\frac{1}{2}$ の円を描きます。$z \ne 2$ より、$w$ はこの円上のすべての点をとります。

(3) $w$ が実軸上を動くので、$w = k$ ($k$ は実数) と表せます。

$w = \frac{iz}{z-2}$ より、$k = \frac{iz}{z-2}$ なので、$k(z-2) = iz$ となり、$kz - 2k = iz$ が得られます。

したがって、$kz - iz = 2k$ より、$z(k-i) = 2k$ となり、$z = \frac{2k}{k-i}$ が得られます。

$z = \frac{2k(k+i)}{(k-i)(k+i)} = \frac{2k^2 + 2ki}{k^2+1} = \frac{2k^2}{k^2+1} + \frac{2k}{k^2+1}i$ となります。

$z = x + yi$ とすると、$x = \frac{2k^2}{k^2+1}$、 $y = \frac{2k}{k^2+1}$ です。

$x^2 + y^2 = (\frac{2k^2}{k^2+1})^2 + (\frac{2k}{k^2+1})^2 = \frac{4k^4 + 4k^2}{(k^2+1)^2} = \frac{4k^2(k^2+1)}{(k^2+1)^2} = \frac{4k^2}{k^2+1} = 2x$ なので、$x^2 - 2x + y^2 = 0$ となり、$(x-1)^2 + y^2 = 1$ が得られます。

したがって、$z$ は中心 $(1, 0)$、半径1の円を描きます。

$z \ne 2$ より、$w=1$のときは除外します。なぜなら$z=2$となるのは、$k=1$のときだからです。ゆえに、中心$(1,0)$, 半径1の円周上の点$z=2$を除いた図形を描きます。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $\mathrm{Im}(w) = \frac{1}{2}$

(2) 中心 $(0, \frac{1}{2})$、半径 $\frac{1}{2}$ の円

(3) 中心 $(1, 0)$、半径1の円周上の点$z=2$を除いた図形