与えられた式は、$n \geq 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めるための式です。 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1)$

1. 問題の内容

与えられた式は、$n \geq 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めるための式です。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの計算をします。シグマの中身を2つの項に分けます。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ は初項2、公比2、項数$n-1$の等比数列の和です。等比数列の和の公式より

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1$ は1を$n-1$回足し合わせるので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n - 1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1) = (2^n - 2) - (n - 1) = 2^n - 2 - n + 1 = 2^n - n - 1$

元の式に代入して、

$a_n = a_1 + 2^n - n - 1$

3. 最終的な答え

$a_n = a_1 + 2^n - n - 1$