(1) 等差数列 100, 97, 94, ... の一般項 $a_n$ を求め、第35項を求める。 (2) 第59項が70、第66項が84である等差数列 $\{a_n\}$ において、 (ア) 一般項を求めよ。 (イ) 118 は第何項か。 (ウ) 初めて正になるのは第何項か。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 100, 97, 94, ... の一般項 $a_n$ を求め、第35項を求める。

(2) 第59項が70、第66項が84である等差数列 $\{a_n\}$ において、

(ア) 一般項を求めよ。

(イ) 118 は第何項か。

(ウ) 初めて正になるのは第何項か。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の初項は $a_1 = 100$、公差は $d = 97 - 100 = -3$ である。

一般項 $a_n$ は

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 100 + (n-1)(-3)$

$a_n = 100 - 3n + 3$

$a_n = 103 - 3n$

第35項は $n = 35$ を代入して

$a_{35} = 103 - 3(35)$

$a_{35} = 103 - 105$

$a_{35} = -2$

(2)

(ア)

第59項が70、第66項が84なので、

$a_{59} = a_1 + 58d = 70$

$a_{66} = a_1 + 65d = 84$

2つの式を引き算すると

$7d = 14$

$d = 2$

$a_1 + 58(2) = 70$

$a_1 + 116 = 70$

$a_1 = 70 - 116$

$a_1 = -46$

一般項 $a_n$ は

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = -46 + (n-1)(2)$

$a_n = -46 + 2n - 2$

$a_n = 2n - 48$

(イ)

$a_n = 118$ となる $n$ を求める。

$2n - 48 = 118$

$2n = 166$

$n = 83$

(ウ)

$a_n > 0$ となる最小の $n$ を求める。

$2n - 48 > 0$

$2n > 48$

$n > 24$

したがって、初めて正になるのは第25項。

3. 最終的な答え

(1)

一般項: $a_n = 103 - 3n$

第35項: $a_{35} = -2$

(2)

(ア) 一般項: $a_n = 2n - 48$

(イ) 83項

(ウ) 25項