与えられた二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求める問題です。問題には6つの関数とその定義域が示されています。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求める問題です。問題には6つの関数とその定義域が示されています。

2. 解き方の手順

各関数について、次の手順で最大値と最小値を求めます。

* **平方完成**: 二次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

* **グラフの概形**: 頂点の座標と、定義域の端点における関数の値を考慮して、グラフの概形を把握します。

* **最大値・最小値の特定**: グラフの概形から、定義域内で最大値と最小値を取る$x$の値を特定し、それぞれの値を計算します。

* **定義域の確認**: 定義域に注意し、範囲外の値は除外します。特に不等号に注意します(例えば、$<$は範囲に含まない)。

個別の関数ごとに計算結果を示します。

(1) $y = x^2 + 1 \quad (-1 \le x \le 3)$

$y = (x-0)^2 + 1$

頂点: $(0, 1)$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^2 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき $y = (3)^2 + 1 = 10$

最小値: $1$ ($x = 0$のとき)

最大値: $10$ ($x = 3$のとき)

(2) $y = -x^2 + 4x - 2 \quad (0 \le x \le 4)$

$y = -(x^2 - 4x) - 2$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 4 - 2$

$y = -(x - 2)^2 + 2$

頂点: $(2, 2)$

$x = 0$ のとき $y = -(0)^2 + 4(0) - 2 = -2$

$x = 4$ のとき $y = -(4)^2 + 4(4) - 2 = -2$

最大値: $2$ ($x = 2$のとき)

最小値: $-2$ ($x = 0, 4$のとき)

(3) $y = 2x^2 + 4x - 1 \quad (0 \le x \le 1)$

$y = 2(x^2 + 2x) - 1$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 3$

頂点: $(-1, -3)$

$x = 0$ のとき $y = 2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$

$x = 1$ のとき $y = 2(1)^2 + 4(1) - 1 = 5$

最小値: $-1$ ($x = 0$のとき)

最大値: $5$ ($x = 1$のとき)

(4) $y = -3x^2 + 6x - 5 \quad (-1 \le x \le 2)$

$y = -3(x^2 - 2x) - 5$

$y = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5$

$y = -3(x - 1)^2 + 3 - 5$

$y = -3(x - 1)^2 - 2$

頂点: $(1, -2)$

$x = -1$ のとき $y = -3(-1)^2 + 6(-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14$

$x = 2$ のとき $y = -3(2)^2 + 6(2) - 5 = -12 + 12 - 5 = -5$

最大値: $-2$ ($x = 1$のとき)

最小値: $-14$ ($x = -1$のとき)

(5) $y = x^2 - 3x + 1 \quad (1 < x \le 3)$

$y = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 1$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$

$x = 3$ のとき $y = (3)^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$

$x=1$を含まないため、$x$が1に近い値の場合を考える。

$x = 1$ のとき $y = (1)^2 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

しかし、範囲に含まないため最小値は存在しない。

最小値: なし

最大値: $1$ ($x = 3$のとき)

(6) $y = -2x^2 + 9x \quad (0 < x < 3)$

$y = -2(x^2 - \frac{9}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16} - \frac{81}{16})$

$y = -2(x - \frac{9}{4})^2 + \frac{81}{8}$

頂点: $(\frac{9}{4}, \frac{81}{8})$

$x = 0$ および $x = 3$ を含まないため、$x$が0および3に近い場合を考える。

$x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 + 9(0) = 0$

$x = 3$ のとき $y = -2(3)^2 + 9(3) = -18 + 27 = 9$

しかし、範囲に含まないため最小値および最大値は存在しない。

最小値: なし

最大値: なし

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $1$ ($x = 0$のとき), 最大値: $10$ ($x = 3$のとき)

(2) 最大値: $2$ ($x = 2$のとき), 最小値: $-2$ ($x = 0, 4$のとき)

(3) 最小値: $-1$ ($x = 0$のとき), 最大値: $5$ ($x = 1$のとき)

(4) 最大値: $-2$ ($x = 1$のとき), 最小値: $-14$ ($x = -1$のとき)

(5) 最小値: なし, 最大値: $1$ ($x = 3$のとき)

(6) 最小値: なし, 最大値: なし