1. 問題の内容
10本のくじの中に当たりくじが5本あります。この中から同時に4本のくじを引いたとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求めなさい。
2. 解き方の手順
「少なくとも1本が当たる」という事象の余事象は「1本も当たらない」という事象です。したがって、まず「1本も当たらない」確率を計算し、それを1から引くことで求める確率が得られます。
10本の中から4本を引くすべての組み合わせの数は、組み合わせの公式を用いて計算できます。
_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
当たりくじが5本なので、はずれくじも5本です。4本引いて全て外れる組み合わせの数は、5本のはずれくじから4本を選ぶ組み合わせの数です。
_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5
したがって、4本引いて1本も当たらない確率は
\frac{_5C_4}{_{10}C_4} = \frac{5}{210} = \frac{1}{42}
少なくとも1本が当たる確率は、1から「1本も当たらない確率」を引いたものです。
1 - \frac{1}{42} = \frac{42}{42} - \frac{1}{42} = \frac{41}{42}