不等式 $x + a < 3x - 2 < -x + 10$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x + a < 3x - 2 < -x + 10$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を分解して、$x$ について解きます。

$x + a < 3x - 2$ より、

$a + 2 < 2x$

$\frac{a + 2}{2} < x$ ...(1)

$3x - 2 < -x + 10$ より、

$4x < 12$

$x < 3$ ...(2)

したがって、$\frac{a + 2}{2} < x < 3$ となります。

この範囲に整数 $x$ がちょうど5個存在するため、$x$ は $-2, -1, 0, 1, 2$ であり、$x=3$は含まれないことになります。

つまり、$\frac{a+2}{2}$ は $-3$ より大きく、$-2$ 以下でなければなりません。

$-3 < \frac{a+2}{2} \le -2$

各辺に2をかけると

$-6 < a+2 \le -4$

各辺から2を引くと

$-8 < a \le -6$

3. 最終的な答え

$-8 < a \le -6$