不等式 $x^2 + 3y^2 \geq 2xy$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + 3y^2 \geq 2xy$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与式の左辺から右辺を引きます。

$x^2 + 3y^2 - 2xy$

この式を平方完成させます。$y^2$を2つに分けて考えます。

$x^2 - 2xy + y^2 + 2y^2 = (x-y)^2 + 2y^2$

したがって、$x^2 + 3y^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2y^2$

$(x-y)^2 \geq 0$ であり、$2y^2 \geq 0$ であるから、 $(x-y)^2 + 2y^2 \geq 0$ となります。

よって、$x^2 + 3y^2 \geq 2xy$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、 $(x-y)^2 = 0$ かつ $2y^2 = 0$ のときです。

$(x-y)^2 = 0$ より $x = y$

$2y^2 = 0$ より $y = 0$

したがって、$x = y = 0$ のとき、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x^2 + 3y^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2y^2$

$x=y=0$ のときに成り立つ。