10本のくじの中に当たりくじが4本ある。この中から同時に3本のくじを引いたとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが4本ある。この中から同時に3本のくじを引いたとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1本が当たる確率を直接計算する代わりに、1本も当たらない確率を計算し、それを1から引くことで求める。

まず、10本のくじから3本を引く場合の総数を計算する。これは組み合わせの数で表され、$_{10}C_3$と書ける。

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_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120

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次に、3本とも外れくじを引く場合の数を計算する。外れくじは10本 - 4本 = 6本あるので、6本から3本を選ぶ組み合わせの数は、$_{6}C_3$と書ける。

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_{6}C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20

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3本とも外れる確率は、$P(\text{3本とも外れ}) = \frac{_{6}C_3}{_{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$となる。

したがって、少なくとも1本が当たる確率は、$P(\text{少なくとも1本当たり}) = 1 - P(\text{3本とも外れ})$である。

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P(\text{少なくとも1本当たり}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

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3. 最終的な答え

5/6