$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-6xyz$ を変形し、不等式 $x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y) \ge 6xyz$ を証明する問題です。また、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-6xyz$ を変形し、不等式 $x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y) \ge 6xyz$ を証明する問題です。また、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

与式の左辺から右辺を引いた式を変形していきます。

まず、式を展開し、zについて整理します。

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-6xyz = x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y - 6xyz$

$=z(x^2+y^2)+z^2(x+y)+x^2y + y^2x - 6xyz$

$=z(x^2+y^2)+z^2(x+y)+xy(x + y) - 6xyz$

次に、$z$ に関する部分を整理します。

$z(x^2+y^2) + x^2 y + x y^2 -6xyz$

$=z(x^2 - 2xy + y^2)+x(y^2 - 2yz + z^2)+y(z^2 -2zx + x^2)$

$=z(x-y)^2+x(y-z)^2+y(z-x)^2$

したがって、

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-6xyz = z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2$

$x>0$, $y>0$, $z>0$ より $x(y-z)^2 \ge 0$, $y(z-x)^2 \ge 0$, $z(x-y)^2 \ge 0$ であるから

$z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 \ge 0$

よって、$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-6xyz \ge 0$

すなわち、$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y) \ge 6xyz$

等号が成り立つのは $x=y=z$ のときです。

3. 最終的な答え

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-6xyz = z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2$

$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y) \ge 6xyz$

また、等号は $x = y = z$ のときに成り立つ。