$x>0, y>0, z>0$ のとき、不等式 $x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) \ge 6xyz$ が成り立つことを証明する問題です。また、等号が成り立つのはどのようなときかを答える必要があります。証明は、不等式の左辺から右辺を引いた式を変形することで行います。

1. 問題の内容

$x>0, y>0, z>0$ のとき、不等式 $x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) \ge 6xyz$ が成り立つことを証明する問題です。また、等号が成り立つのはどのようなときかを答える必要があります。証明は、不等式の左辺から右辺を引いた式を変形することで行います。

2. 解き方の手順

まず、与式の左辺から右辺を引いた式を計算します。

$x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) - 6xyz$

次に、この式を $z$ でくくると、

$z(x^2 - 2xy + y^2) + x(\text{空白}) + y(z^2 - 2zx + x^2)$ となります。

ここで、最初の空白は、$z(x+y)$ になります。

したがって、この式は $z(x^2-2xy+y^2+xz+yz-6xy)$ になります。

この式を整理すると、

$z(x^2+xz+y^2+yz-2xy) + yz^2 + x^2y-6xyz$となります。

与式を計算すると、

$x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) - 6xyz \\

= x^2y + x^2z + y^2z + y^2x + z^2x + z^2y - 6xyz \\

= z(x^2+y^2) + x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) - 6xyz$

$z(x^2-2xy+y^2) + yz^2 + x^2y-2xyz \\

x(y^2-2yz+z^2) + x^2z+xyz \\

y(z^2-2xz+x^2) + y^2z-2xyz$

$z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2$

となる。

したがって、$z(\text{空白})^2 + x(y-z)^2 + y(\text{空白})^2$ となります。

最初の空白は $x-y$, 2番目の空白は $z-x$ です。

$z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 \ge 0$

ここで $x, y, z > 0$ なので、 $z(x-y)^2 \ge 0$, $x(y-z)^2 \ge 0$, $y(z-x)^2 \ge 0$

したがって、$z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 \ge 0$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x-y = 0$ かつ $y-z = 0$ かつ $z-x = 0$ のときです。

つまり、$x = y = z$ のときに等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x^2(y+z) + y^2(z+x) + z^2(x+y) - 6xyz = z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2$

$x>0, y>0, z>0$ なので、$z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 \ge 0$

したがって、$x=y=z$ のとき等号が成立します。