$a, b$ が正の数で $a+b=1$ であるとき、不等式 $ax^2+by^2 \ge (ax-by)^2$ を証明する問題です。空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$a, b$ が正の数で $a+b=1$ であるとき、不等式 $ax^2+by^2 \ge (ax-by)^2$ を証明する問題です。空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、左辺-右辺を変形します。

$ax^2+by^2 - (a^2x^2 - 2abxy + b^2y^2) = a(1-a)x^2 + 2abxy + b(1-b)y^2$

$a+b = 1$ より、$a = 1-b$ 、$b = 1-a$なので、

$a(1-a)x^2 + 2abxy + b(1-b)y^2 = abx^2 + 2abxy + aby^2$

$= ab(x^2 + 2xy + y^2) = ab(x+y)^2$

$a, b$ は正の数なので、$ab > 0$ 。

$(x+y)^2 \ge 0$ より、$ab(x+y)^2 \ge 0$ 。

したがって、$ax^2 + by^2 \ge (ax-by)^2$ が成り立ちます。

よって、空欄を埋めると：

(1) $1-a$

(2) $1-b$

(3) $x+y$

3. 最終的な答え

(1) $1-a$

(2) $1-b$

(3) $x+y$