赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、すべての玉の組み合わせを考えます。

全部で3+4+5=12個の玉があるので、12個から3個を選ぶ組み合わせは $_{12}C_3$ 通りです。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

次に、「少なくとも1個が白玉である」確率の余事象を考えます。つまり、「白玉が1個も含まれない」確率を求めます。白玉が含まれない場合、赤玉3個と青玉5個の合計8個から3個を選ぶことになります。

この組み合わせは $_{8}C_3$ 通りです。

$_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

したがって、「白玉が1個も含まれない」確率は $\frac{56}{220} = \frac{14}{55}$ となります。

「少なくとも1個が白玉である」確率は、1から「白玉が1個も含まれない」確率を引いたものです。

つまり、

$1 - \frac{14}{55} = \frac{55 - 14}{55} = \frac{41}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{55}$