$a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ のとき、次の不等式を示す問題です。 $(abc)^{\frac{2}{3}} \leq \frac{1}{3}(ab + bc + ca)$

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ のとき、次の不等式を示す問題です。

$(abc)^{\frac{2}{3}} \leq \frac{1}{3}(ab + bc + ca)$

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。

相加相乗平均の不等式は、$x, y, z > 0$ のとき、

$\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$

が成り立つというものです。

この不等式を利用するために、

$x = ab$, $y = bc$, $z = ca$

とおくと、$x, y, z > 0$ となります。

相加相乗平均の不等式に代入すると、

$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq \sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}$

$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq (a^2b^2c^2)^{\frac{1}{3}}$

$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq (abc)^{\frac{2}{3}}$

よって、

$(abc)^{\frac{2}{3}} \leq \frac{1}{3}(ab + bc + ca)$

が示されました。

3. 最終的な答え

$(abc)^{\frac{2}{3}} \leq \frac{1}{3}(ab + bc + ca)$