ある人が線路沿いを毎分80mで歩いている。前方から来る上り電車とは13分45秒ごと、後方から来る下り電車とは16分30秒ごとにすれ違う。上り電車も下り電車も同じ速度、同じ間隔で運転しているとき、電車の運転間隔を求める問題。

1. 問題の内容

ある人が線路沿いを毎分80mで歩いている。前方から来る上り電車とは13分45秒ごと、後方から来る下り電車とは16分30秒ごとにすれ違う。上り電車も下り電車も同じ速度、同じ間隔で運転しているとき、電車の運転間隔を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、時間の単位を秒に統一する。

13分45秒 = $13 \times 60 + 45 = 825$ 秒

16分30秒 = $16 \times 60 + 30 = 990$ 秒

次に、電車の速度を$v$ (m/秒)、電車の運転間隔を$T$ (秒)とする。人の速度は$80$ m/分 = $80/60 = 4/3$ m/秒。

上り電車の場合、人と電車は向かい合って進むので、相対速度は$v + 4/3$ (m/秒)。

下り電車の場合、人と電車は同じ方向に進むので、相対速度は$v - 4/3$ (m/秒)。

上り電車と出会う頻度から、

$T \times v = 825 \times (v + 4/3)$ (1)

下り電車と出会う頻度から、

$T \times v = 990 \times (v - 4/3)$ (2)

(1)と(2)より、

$825(v + 4/3) = 990(v - 4/3)$

$825v + 825 \times 4/3 = 990v - 990 \times 4/3$

$990v - 825v = 825 \times 4/3 + 990 \times 4/3$

$165v = (825 + 990) \times 4/3$

$165v = 1815 \times 4/3$

$165v = 605 \times 4$

$165v = 2420$

$v = 2420/165 = 484/33 = 440/30 = 44/3$ (m/秒)

(1)に代入して、$Tv = 825(v + 4/3)$

$T(44/3) = 825(44/3 + 4/3)$

$T(44/3) = 825(48/3)$

$T(44/3) = 825 \times 16$

$T = (825 \times 16) \times (3/44)$

$T = 825 \times 16 \times 3/44 = 225 \times 4 \times 3 / 11 = 75 \times 4 \times 3 = 300 \times 3/1 = 900$

よって、$T = 900$ 秒。

900秒 = 15分

3. 最終的な答え

15 分