$a, b$ を実数の定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - ax + 2b$ について、$f(1) = 1$ である。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。 (3) $a = 2$ のとき、$-1 \le x \le 3$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。 (4) $-1 \le x \le 3$ において関数 $f(x)$ の最大値が 6 となるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数の定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - ax + 2b$ について、$f(1) = 1$ である。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。

(3) $a = 2$ のとき、$-1 \le x \le 3$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

(4) $-1 \le x \le 3$ において関数 $f(x)$ の最大値が 6 となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(1) = 1$ より、

$f(1) = 1^2 - a(1) + 2b = 1$

$1 - a + 2b = 1$

$2b = a$

$b = \frac{a}{2}$

(2) $f(x) = x^2 - ax + 2b = x^2 - ax + a$（(1)より）

平方完成を行う。

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + a$

$f(x) = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + a$

よって、頂点の座標は $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a)$

(3) $a = 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x + 4$

$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$f(x) = (x - 1)^2 - 1 + 4 = (x - 1)^2 + 3$

頂点は $(1, 3)$

$f(-1) = (-1 - 1)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$

$f(3) = (3 - 1)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$

よって、

最大値：7 ($x = -1, 3$)

最小値：3 ($x = 1$)

(4) $f(x) = x^2 - ax + a$

$-1 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値が 6 となるような $a$ の値を求める。

頂点の $x$ 座標は $\frac{a}{2}$

場合分けを行う。

(i) $\frac{a}{2} \le -1$ つまり $a \le -2$ のとき

最大値は $f(3) = 3^2 - 3a + a = 9 - 2a = 6$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

これは $a \le -2$ を満たさないので不適。

(ii) $-1 \le \frac{a}{2} \le 3$ つまり $-2 \le a \le 6$ のとき

$f(-1) = 1 + a + a = 1 + 2a$

$f(3) = 9 - 3a + a = 9 - 2a$

頂点の $y$ 座標は $-\frac{a^2}{4} + a$

最大値は $f(-1)$ または $f(3)$

(a) $f(-1) = 6$ のとき

$1 + 2a = 6$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

これは $-2 \le a \le 6$ を満たす。

(b) $f(3) = 6$ のとき

$9 - 2a = 6$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

これは $-2 \le a \le 6$ を満たす。

(iii) $\frac{a}{2} \ge 3$ つまり $a \ge 6$ のとき

最大値は $f(-1) = (-1)^2 - a(-1) + a = 1 + a + a = 1 + 2a = 6$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2}$

これは $a \ge 6$ を満たさないので不適。

よって、$a = \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $b = \frac{a}{2}$

(2) $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + a)$

(3) 最大値：7 ($x = -1, 3$)、最小値：3 ($x = 1$)

(4) $a = \frac{3}{2}, \frac{5}{2}$