与えられた3点を通る放物線をグラフとする2次関数を求める問題です。 問題は2つあります。 (1) (2, 0), (0, 3), (1, 4) を通る2次関数を求める。 (2) (-1, 5), (1, -3), (2, -1) を通る2次関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた3点を通る放物線をグラフとする2次関数を求める問題です。

問題は2つあります。

(1) (2, 0), (0, 3), (1, 4) を通る2次関数を求める。

(2) (-1, 5), (1, -3), (2, -1) を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

2次関数は一般的に $y = ax^2 + bx + c$ の形で表されます。

与えられた3点の座標をこの式に代入し、a, b, c についての連立方程式を立てます。

その連立方程式を解き、a, b, c の値を求めます。

求めた a, b, c の値を $y = ax^2 + bx + c$ に代入すると、求める2次関数が得られます。

(1) (2, 0), (0, 3), (1, 4) を通る場合

3点をそれぞれ代入すると、以下の3つの式が得られます。

$4a + 2b + c = 0$

$c = 3$

$a + b + c = 4$

$c=3$ を他の2つの式に代入すると、

$4a + 2b + 3 = 0$

$a + b + 3 = 4$

整理すると、

$4a + 2b = -3$

$a + b = 1$

下の式から $b = 1-a$ となり、これを上の式に代入すると、

$4a + 2(1-a) = -3$

$4a + 2 - 2a = -3$

$2a = -5$

$a = -\frac{5}{2}$

$b = 1 - a = 1 - (-\frac{5}{2}) = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、求める2次関数は

$y = -\frac{5}{2}x^2 + \frac{7}{2}x + 3$

(2) (-1, 5), (1, -3), (2, -1) を通る場合

3点をそれぞれ代入すると、以下の3つの式が得られます。

$a - b + c = 5$

$a + b + c = -3$

$4a + 2b + c = -1$

1つ目の式と2つ目の式を加えると、

$2a + 2c = 2$

$a + c = 1$

$c = 1-a$

2つ目の式と3つ目の式から2つ目の式を引くと、

$3a + b = 2$

$b = 2 - 3a$

1つ目の式 $a - b + c = 5$ に $c = 1 - a$ と $b = 2 - 3a$ を代入すると、

$a - (2 - 3a) + (1 - a) = 5$

$a - 2 + 3a + 1 - a = 5$

$3a - 1 = 5$

$3a = 6$

$a = 2$

$b = 2 - 3a = 2 - 3(2) = 2 - 6 = -4$

$c = 1 - a = 1 - 2 = -1$

したがって、求める2次関数は

$y = 2x^2 - 4x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{5}{2}x^2 + \frac{7}{2}x + 3$

(2) $y = 2x^2 - 4x - 1$