3つの袋A, B, Cがあり、それぞれに数字が書かれたカードが入っている。袋A, Bには1, 2, 3のカードが1枚ずつ、袋Cには1, 2, 3, 4のカードが1枚ずつ入っている。袋A, B, Cからそれぞれ1枚ずつカードを取り出す。 (1) カードの取り出し方は全部で何通りあるか。 (2) 袋Aから取り出したカードの数を$a$, 袋Bから取り出したカードの数を$b$, 袋Cから取り出したカードの数を$c$とするとき、$a, b, c$がすべて同じ数になる確率を求めよ。 (3) $x$についての方程式$ax - b = c$の解が2になる確率を求めよ。 (4) Oを原点とする平面上に、2点P($a$, 0), Q($b$, $c$)をとる。このとき、△OPQが直角二等辺三角形となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

3つの袋A, B, Cがあり、それぞれに数字が書かれたカードが入っている。袋A, Bには1, 2, 3のカードが1枚ずつ、袋Cには1, 2, 3, 4のカードが1枚ずつ入っている。袋A, B, Cからそれぞれ1枚ずつカードを取り出す。

(1) カードの取り出し方は全部で何通りあるか。

(2) 袋Aから取り出したカードの数を$a$, 袋Bから取り出したカードの数を$b$, 袋Cから取り出したカードの数を$c$とするとき、$a, b, c$がすべて同じ数になる確率を求めよ。

(3) $x$についての方程式$ax - b = c$の解が2になる確率を求めよ。

(4) Oを原点とする平面上に、2点P($a$, 0), Q($b$, $c$)をとる。このとき、△OPQが直角二等辺三角形となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) カードの取り出し方の場合の数を求める。

袋Aからは3通り、袋Bからは3通り、袋Cからは4通りの取り出し方がある。それぞれの袋からの取り出し方は独立なので、すべての取り出し方はこれらの積となる。

(2) $a, b, c$がすべて同じ数になる場合を考える。

$a, b, c$がすべて1になる場合、2になる場合、3になる場合をそれぞれ検討する。

袋A, Bには1, 2, 3のカードしかないので、$a, b, c$が同じになるのは1, 2, 3の場合のみ。

1になる場合: $a=1$, $b=1$, $c=1$。

2になる場合: $a=2$, $b=2$, $c=2$。

3になる場合: $a=3$, $b=3$, $c=3$。

それぞれの確率は、(1)で求めた全事象数で割る。

(3) 方程式$ax - b = c$の解が2になる場合を考える。

$x = 2$を代入すると、$2a - b = c$となる。

$2a = b + c$を満たす$a, b, c$の組み合わせをすべて探す。

$a, b \in \{1, 2, 3\}$、$c \in \{1, 2, 3, 4\}$であることに注意する。

組み合わせが見つかったら、それぞれの確率を計算し、足し合わせる。

(4) △OPQが直角二等辺三角形になる条件を考える。

O(0, 0), P($a$, 0), Q($b$, $c$)が与えられている。

直角がOである場合: OP $\perp$ OQ。これはありえない ($a, b \in \{1, 2, 3\}$, $c \in \{1, 2, 3, 4\}$なので$c \ne 0$)。

直角がPである場合: OP $\perp$ PQ かつ OP = PQ。PQの傾きは定義できないため、$b = a$であり、$c=a$が成り立つ必要がある。

直角がQである場合: OQ $\perp$ QP かつ OQ = QP。OQの傾きは$\frac{c}{b}$、QPの傾きは$\frac{c-0}{b-a}$であるから、$\frac{c}{b} \cdot \frac{c}{b-a} = -1$　かつ　$\sqrt{b^2+c^2} = \sqrt{(b-a)^2+c^2}$を満たす必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $3 \times 3 \times 4 = 36$通り

(2) $a=1, b=1, c=1$となる確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{36}$

$a=2, b=2, c=2$となる確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{36}$

$a=3, b=3, c=3$となる確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{36}$

よって、確率は$\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

(3) $2a - b = c$

$a = 1$のとき、$2 - b = c$。$b=1$のとき$c=1$。$b=2$のとき$c=0$で不適。$b=3$のとき$c=-1$で不適。

$a = 2$のとき、$4 - b = c$。$b=1$のとき$c=3$。$b=2$のとき$c=2$。$b=3$のとき$c=1$。

$a = 3$のとき、$6 - b = c$。$b=1$のとき$c=5$で不適。$b=2$のとき$c=4$。$b=3$のとき$c=3$。

組み合わせは(1, 1, 1), (2, 1, 3), (2, 2, 2), (2, 3, 1), (3, 2, 4), (3, 3, 3)。

それぞれ確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{36}$なので、確率は$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

(4) 直角がPである場合: $b=a$かつ$c=a$なので、組み合わせは(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)。

直角がQである場合: $\sqrt{b^2+c^2} = \sqrt{(b-a)^2+c^2}$より、$b^2=(b-a)^2$。これより、$b=b-a$または$b = -(b-a)$。$b=b-a$は$a=0$となり不適。$b = -(b-a)$より、$2b=a$。$a=2b$。

$\frac{c}{b} \cdot \frac{c}{b-a} = -1$より、$\frac{c}{b} \cdot \frac{c}{b-2b} = -1$、$\frac{c^2}{-b^2} = -1$、$c^2 = b^2$。$c=b$。よって、$c=b=\frac{a}{2}$。

$a=1$のとき$b=\frac{1}{2}$で不適。$a=2$のとき$b=1, c=1$。$a=3$のとき$b=\frac{3}{2}$で不適。

(2, 1, 1)のみ成り立つ。

(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (2,1,1)

確率は$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$