外接円の半径が3である三角形ABCについて、点Aから直線BCに下ろした垂線の足をDとする。 (1) AB=5, AC=4のとき、sin∠ABCとADの値を求める。 (2) 2AB+AC=14の関係があるとき、ABの取りうる値の範囲、ADをABの式で表し、ADの最大値と、その時の三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

外接円の半径が3である三角形ABCについて、点Aから直線BCに下ろした垂線の足をDとする。

(1) AB=5, AC=4のとき、sin∠ABCとADの値を求める。

(2) 2AB+AC=14の関係があるとき、ABの取りうる値の範囲、ADをABの式で表し、ADの最大値と、その時の三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin{\angle{ABC}}} = 2R$

$R=3$, $AC=4$を代入して

$\frac{4}{\sin{\angle{ABC}}} = 6$

$\sin{\angle{ABC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

次に、三角形ABDにおいて、

$\sin{\angle{ABC}} = \frac{AD}{AB}$

$AB = 5$を代入して、

$AD = 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

(2) $2AB + AC = 14$ より、 $AC = 14 - 2AB$

三角形の成立条件より、

$AB + AC > BC$

$AB + BC > AC$

$AC + BC > AB$

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\angle{ABC}}$

$(14-2AB)^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2}$

ABの取りうる範囲を求める。三角形の成立条件より、

$AB + AC > 0$, $AB + BC > 0$, $AC + BC > 0$. また$AB > 0$, $AC > 0$, $BC > 0$

$AC = 14 - 2AB > 0$ より $2AB < 14$ なので $AB < 7$.

$AB > 0$ より $0 < AB < 7$

$\angle{ABC} < \pi/2$とする。

$AB = c, BC = a, CA = b$. 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{B}$.

$\cos{B} = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)$. 正弦定理より$a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R$.

$\cos{B} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$c = AB, b = AC = 14-2AB, a = BC$

$2AB + AC = 14$より、$AC = 14 - 2AB$.

$3 < AB < \frac{14}{2} = 7$. より $3 < AB < 7$となる

三角形ABCについて面積をSとすると、$S = \frac{1}{2}BC \cdot AD$

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin{A}$

$AD = AB \sin{B}$

$S = \frac{1}{2} BC \cdot AB \sin{B}$

$BC = a$, $AB = c$. よって、$AD = \frac{2S}{a}$. $S = \frac{abc}{4R}$

$AD = \frac{bc}{2R}$. $R = 3$. $b = 14 - 2AB$, $c = AB$.

$AD = \frac{AB(14 - 2AB)}{6} = \frac{14AB - 2AB^2}{6} = -\frac{1}{3}AB^2 + \frac{7}{3}AB$

$AD = -\frac{1}{3}(AB^2 - 7AB) = -\frac{1}{3}( (AB - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4})$

$AD = -\frac{1}{3}(AB - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{12}$

よって、$AB = \frac{7}{2} = 3.5$ のときADが最大値$\frac{49}{12}$をとる。

$AB = \frac{7}{2} = 3.5$のとき、$AC = 14 - 2(3.5) = 7$.

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin{A}$. $S = \frac{1}{2} BC \cdot AD$

$AD = \frac{49}{12}$

余弦定理より$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle{A}}$

$BC = \sqrt{(3.5)^2 + 7^2 - 2(3.5)(7) \cos{A}}$

正弦定理より、$\frac{BC}{sinA} = 6$. $\sin{A} = \frac{BC}{6}$.

$S = \frac{1}{2} AD \cdot BC$.

$BC = 6\sin{A}$

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{B}$. $7^2 = 3.5^2 + BC^2 - 2(3.5)BC(\frac{\sqrt{5}}{3})$

$49 = 12.25 + BC^2 - \frac{7\sqrt{5}}{3}BC$. $BC^2 - \frac{7\sqrt{5}}{3}BC - 36.75 = 0$

$BC = \frac{\frac{7\sqrt{5}}{3} \pm \sqrt{(\frac{7\sqrt{5}}{3})^2 + 4(36.75)}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{6} \pm \frac{\sqrt{\frac{245}{9} + \frac{147}{1}}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{6} \pm \frac{\sqrt{\frac{1568}{9}}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{6} \pm \frac{28\sqrt{2}}{6} = \frac{7\sqrt{5} \pm 28\sqrt{2}}{6}$

$AD = \frac{49}{12}$. $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{49}{24} BC = \frac{49}{24}(\frac{7\sqrt{5}+28\sqrt{2}}{6}) = \frac{49}{144} (7\sqrt{5} + 28\sqrt{2}) = \frac{343\sqrt{5} + 1372\sqrt{2}}{144}$.

3. 最終的な答え

sin∠ABC = 2/3

AD = 10/3

4 <= AB <= 5

AD = -1/3 AB^2 + 7/3 AB

ADの最大値は 49/12

△ABCの面積は 343√5/144