正則行列 $P$ によって行列 $A$ が $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとき、以下の3つの命題を証明します。 (1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ (2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$ (3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値である。

## 問題3

1. 問題の内容

正則行列 $P$ によって行列 $A$ が $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとき、以下の3つの命題を証明します。

(1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$

(2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値である。

2. 解き方の手順

(1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ の証明

演習問題06の問1(2)の結果を利用します。問1(2)の結果とは、正方行列 $A$ と $B$ に対して $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ が成り立つというものです。

ここで、$PP^{-1} = I$ （$I$は単位行列）であることに注意します。両辺の行列式を取ると、

$$\det(PP^{-1}) = \det(I)$$

$\det(PP^{-1}) = \det(P)\det(P^{-1})$ であるから、

$$\det(P)\det(P^{-1}) = \det(I)$$

$\det(I) = 1$ であるから、

$$\det(P)\det(P^{-1}) = 1$$

よって、

$$\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)} = (\det P)^{-1}$$

これで、$\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ が証明されました。

(2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$ の証明

行列式の性質 $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ を繰り返し利用します。

$$\det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1}) \det(A) \det(P)$$

(1)の結果より $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ であるから、

$$\det(P^{-1}AP) = (\det P)^{-1} \det(A) \det(P)$$

$$\det(P^{-1}AP) = \det(A) (\det P)^{-1} \det(P)$$

$$= \det(A) \frac{\det(P)}{\det(P)}$$

$$= \det(A)$$

これで、$\det(P^{-1}AP) = \det A$ が証明されました。

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値であることの証明

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ が成立します。

(2)より、$\det(P^{-1}AP) = \det(A)$ が成立します。

$\det(P^{-1}AP) = \det\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \alpha\beta$ なので、$\det(A) = \alpha\beta$ が成立します。

また、$tr(P^{-1}AP) = tr\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \alpha + \beta$

ここで、$tr(P^{-1}AP) = tr(A)$ であることは、巡回置換性 (cyclic property) $tr(ABC) = tr(BCA)$ より導けます。

問題2(1) より、Aの固有値を $\lambda_1, \lambda_2$ とすると、$tr(A) = \lambda_1 + \lambda_2$ かつ $\det(A) = \lambda_1\lambda_2$ が成立します。

したがって、$\alpha + \beta = \lambda_1 + \lambda_2$ かつ $\alpha\beta = \lambda_1\lambda_2$ が成立します。

よって、$\alpha, \beta$ は $\lambda_1, \lambda_2$ と一致します。つまり、$\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値です。

3. 最終的な答え

(1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$

(2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値である。